Enunciado

Uma bola acelera a partir do repouso a 0,500 m/s2 enquanto se move para baixo em um plano inclinado de 9,00 m de comprimento. Quando atinge o fundo, a bola rola para outro plano, ao qual chega em repouso após mover-se por 15,0 m naquele plano. 

  1. Qual é a velocidade da bola na parte inferior do primeiro plano? 
  2. Durante qual intervalo de tempo a bola rola para baixo no primeiro plano?
  3. Qual é a aceleração ao longo do segundo plano?
  4. Qual é a velocidade da bola na posição 8,0 m ao longo do segundo plano?

Passo 1

a. A situação é mais ou menos essa, amores:

Beleza. Como a gente tem conhecidos a velocidade inicial (nula, pois parte do repouso), a aceleração e o deslocamento que a bola teve, e não temos o tempo que o percurso durou, o melhor aqui é usar Torricelli, olha só:

V 2 = V 0 2 + 2 ∙ a ∙ ∆ S

Vamos determinar V , a velocidade ao fim de 9 metros de plano inclinado, aplicando os dados que já temos:

V 2 = 0 2 + 2 ∙ 0,500 ∙ 9

V 2 = 9

∴ V = 9 = 3   m / s

Passo 2

b. Agora, pra saber o tempo, a gente pode usar a formulinha do vovô ateu:

V = V 0 + a ∙ t

Determinamos a velocidade final, a inicial é o repouso e a aceleração a gente tem. Assim, o tempo t vai ser a nossa incógnita! Vamos ter o seguinte, migos:

3 = 0 + 0,500 ∙ t

3 = 0,500 t

∴ t = 3 0,500 = 6   s

Passo 3

c. Então, se a gente já sabe a velocidade da bola quando ela chega no segundo plano, não inclinado, e se a gente considera que ela rola 15 metros até entrar em repouso de novo, o melhor pra gente é usar de novo Torricelli, já que não temos nada a respeito do tempo pra essa situação:

V 2 = V 0 2 + 2 ∙ a ∙ ∆ S

O a agora é a nossa incógnita, e não é a mesma aceleração do caso anterior (não necessariamente!). A gente sabe a velocidade inicial (calculada no Passo 1), sabe que a velocidade final é nula e sabe o deslocamento ∆ S de 15 metros.

Agora só aplicar, mores:

0 2 = 3 2 + 2 ∙ a ∙ 15,0

0 = 9 + 30 a

30 a = - 9

∴ a = - 9 30 = - 0,3   m / s 2

Esse sinal negativo indica que a bola está desacelerando, ou seja, perdendo velocidade, ok!

Passo 4

d. Bom, primeiro a gente precisa determinar em que instante a bola chegou na posição 8   m , tudo bem? Pra isso, como o movimento é (des)acelerado, a gente tem que usar a fórmula do sorvetão:

S = S 0 + v 0 ∙ t - a ∙ t 2 2

Que ainda pode ser reescrita assim:

∆ S = v 0 ∙ t - a ∙ t 2 2

O sinal negativo indica pra gente que a bola vai perdendo velocidade, ok?

Aqui, o deslocamento é de 8 metros, a velocidade inicial a gente viu no Passo 1 e a aceleração a gente acabou de calcular no Passo 3. Pra determinar t , temos o seguinte:

8 = 3 ∙ t - ( - 0,3 ) ∙ t 2 2

8 = 3 t + 0,15 ∙ t 2

Se você ainda não reparou, vamos cair em uma equaçãozinha de segundo grau, mas vai ser de boa. Vamos só ajustar pra ficar no formato mais familiar, assim:

0,15 ∙ t 2 + 3 t - 8 = 0

Aplicando bhaskara, vamos determinar t :

t = - 3 ± 3 2 - 4 ∙ 0,15 ∙ ( - 8 ) 2 ∙ 0,15

t = - 3 ± 9 + 4,8 0,3

t = - 3 ± 13 , 8 0,3

t = - 3 ± 3,71 0,3

Bom, como um tempo não pode ser negativo, a gente só pode considerar o seguinte t :

t = - 3 + 3,71 0,3

∴ t = 0 , 71 0,3 ≅ 2,37   s

Passo 5

Ok, agora que conhecemos o tempo que a bola leva pra chegar na posição 8   m , dá pra gente determinar a velocidade dela nessa posição, usando vovô ateu:

V = V 0 + a ∙ t

V vai ser nossa incógnita, V 0 a gente já conhece, sendo V 0 = 3   m / s e a aceleração também conhecemos, sendo a = - 0,3   m / s 2 , além de t que acabamos de calcular no último passo.

Vamos aplicar tudo e, assim, a gente vai ter:

V = 3 + ( - 0,3 ) ∙ 2,37

∴ V = 3 - 0,71 = 2,29   m / s

Resposta

a. V = 3   m / s

b. t = 6   s

c. a = - 0,3   m / s 2

d. V = 2,29   m / s

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