Enunciado

Uma bola de aço de 100   g e outra, também de aço e com 200   g , estão suspensas por barbantes de 1,0   m de comprimento. Em repouso, as bolas situam-se lado a lado, mal se tocando. A bola de 100   g é puxada para a esquerda até que seu barbante forme 45° com a vertical. A bola de 200   g é puxada em 45 ° para a direita. As bolas são liberadas de modo que colidem exatamente no ponto mais baixo de suas oscilações. Até que ângulo cada bola ricocheteia?

Passo 1

Se liga! Ao afastarmos uma bola da outra, conforme fala o enunciado, temos a configuração mostrada na figura.

Onde

m 1 = 100   g = 0,1   k g ;

m 2 = 200   g = 0,2   k g ;

θ 1 i = θ 2 i = θ = 45 ° ;

L = 1,0   m ;

Na hora da colisão todos fios se encontram praticamente na vertical, conforme mostrado na figura a seguir.

A diferença de altura entre as bolas na posição inicial e no instante em que colidem é dada por

y 0 = L 1 - c o s θ .

Passo 2

Para descobrir a velocidade com que a bola 1 chega no ponto de colisão, podemos usar a conservação da energia mecânica. Levando em consideração que antes de começar a cair a bola só possui energia potencial gravitacional e o instante da colisão apenas energia cinética, podemos escrever que

U G = K

m 1 g y 0 = m 1 v 1 2 2

Isolando v 1 e substituindo o y 0 , temos

v 1 = 2 g L ( 1 - c o s θ )

Substituindo os valores encontramos

v 1 = 2,396   m / s .

Passo 3

Considerando que a bola 2 cai a partir da mesma altura e vimos que o cálculo independe da massa, podemos dizer que chegará no ponto de colisão com a mesma velocidade. Mas em sentido oposto.

v 2 = - 2,396   m / s .

Passo 4

Sabemos que na colisão o momento linear deve se conservar.

P i = P f

O momento linear no início é dado por

P i = m 1 v 1 + m 2 v 2 = 0,1 × 2,396 + 0,2 × - 2,396

O momento depois da colisão é dado por

P f = m 1 v 1 d + m 2 v 2 d = 0,1 v 1 d + 0,2 v 2 d

Igualando, temos

0,1 × - 2,396 = 0,1 v 1 d + 0,2 v 2 d   .

Multiplicando os dois lados por 10 e isolando v 1 d , temos

v 1 d = - 2 , 3 96 - 2 v 2 d .     ( 1 )

Passo 5

Considerando que a colisão seja elástica diremos que a energia cinética deve se conservar.

Antes da colisão temos que

K i = 0,1 × 2,396 2 2 + 0 , 2 × - 2,396 2 2

= 0,3 × 2,396 2 2

Depois da colisão temos

K d = 0,1 v 1 d 2 2 + 0 , 2 v 2 d 2 2

Igualando temos

0,3 2,396 2 = 0,1 v 1 d 2 + 0,2 v 2 d 2     . ( 2 )

Substituindo (1) em (2), temos

0,3 2,396 2 = 0,1 - 2 , 396 - 2 v 2 d 2 + 0,2 v 2 d 2

Resolvendo esta equação encontramos duas soluções

v 2 d = - 2,396

v 2 d = 0,798   m / s

Como o primeiro resultado representa o mesmo valor da velocidade dessa bola antes da colisão, o que não faz sentido, pois a bola muda o seu sentido, consideraremos o segundo resultado. Substituindo este na equação (1), temos

v 1 d = - 2,396 - 2 × 0,798 = - 3,99   m / s .

Passo 6

Agora precisamos encontrar os ângulos, para isso usaremos a conservação da energia mecânica.

Se liga na nova configuração.

Para cada uma das bolas, temos

U = K

m g y = m v 2 2     ( 3 )

Podemos achar y 1 e y 2 da mesma forma que achamos y 0 . Portanto

y 1 = L 1 - c o s θ 1 d

y 2 = L 1 - c o s θ 2 d

Agora vamos substituir essas expressões para a bola 1, temos

g L 1 - c o s θ 1 d = v 1 d 2 2

c o s θ 1 d = 1 - v 1 d 2 2 g L   .

Para a bola 2, temos

c o s θ 2 d = 1 - v 2 d 2 2 g L   .

Passo 7

Agora só precisamos aplicar o arcosseno e substituindo os valores.

θ 1 d = arccos ⁡ 1 - v 1 d 2 2 g L = 79,3   °   ;

θ 2 d = arccos ⁡ 1 - v 2 d 2 2 g L = 14,7 °   .

Resposta

θ 1 d = 79,3   °   ;

θ 2 d = 14,7 °   .

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