Enunciado

Uma bola de beisebol é atirada verticalmente para cima. A força de arraste é proporcional a v 2 . Em termos de g, qual é o componente y da aceleração quando a velocidade é igual à metade da velocidade terminal, supondo que a) ela se mova para cima? b) ela se mova de volta para baixo?

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar o componente y da aceleração quando a velocidade é igual à metade da velocidade terminal, supondo que a bola se mova pra cima ou pra baixo.

Nós sabemos que a bola foi atirada verticalmente pra cima, que a força de arraste é proporcional a v 2 e que a resistência do fluido é oposta a velocidade da bola.

Na metade da velocidade terminal, a força de atrito é 1 4 do peso. Além disso, a força de atrito é menor que   m g em cada caso e em cada caso a força é para baixo e a aceleração também é para baixo.

Vamos esboçar um diagrama de corpo livre da bola:

Considerando tudo isso, vamos usar a segunda lei de Newton para analisar as forças verticais agindo no movimento, considerando a força de arrasto F v = K v 2 , para encontrar a aceleração em cada caso.

Vamos lá!

Passo 2

Como podemos observar o diagrama de corpo livre, só temos componentes de força em y . Assim, vamos aplicar a 2º lei de Newton sobre a bola no e i x o   y :

∑ F y = m a y

F y = - P - F v

Onde P é a força peso, F y é a força vertical resultante e F v = K v 2 . Então, temos:

  m a y = - m g - K v 2

Passo 3

Para calcular a velocidade terminal, consideramos a bola caindo. Agora, suponha que atingimos o ponto onde não há aceleração (ou seja, o ponto que ela para para começar a voltar):

∑ F y = 0

Assim, vamos ter:

0 = - m g - K v 2

⇒ v = m g K

Onde v é a velocidade terminal.

Passo 4

a) Quando v atingir, em módulo, a metade da velocidade terminal, teremos:

m a y = - m g - K 1 2 m g K 1 2 2

⇒ a y = g - g 4

a y = - 5 g 4

Se a bola está subindo, a força de atrito está baixa, o sinal negativo signifiva uma desaceleração, então a força resultante é de ( 5 / 4 ) p   e a aceleração é ( 5 / 4 ) g para baixo.

Passo 5

b) Quando v atingir, em módulo, metade da velocidade terminal, para baixo, temos que a força de arrasto, F v , está para cima e a velocidade, v , para baixo:

Então vamos, novamente aplicar a 2º lei de Newton na bola:

∑ F y = m a y

m a y = F v - P

Substituindo F v = K v 2 e P = m g :

m a y = K v 2 - m g

Como encontramos v = m g K no passo 3 , temos:

⇒ m a y = K 1 2 m g K 1 2 2 - m g

m a y = m g 4 - m g

Então,

a y = 3 g 4

Enquanto se move para baixo, a força de atrito é para cima, e a magnitude da força é ( 3 / 4 ) p e a aceleração é ( 3 / 4 ) g para baixo.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

  1. ( 5 / 4 ) g
  2. ( 3 / 4 ) g
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