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Quando uma bola de futebol é chutada na direção de um jogador e o jogador desvia de cabeça, a aceleração da cabeça durante a colisão pode ser relativamente grande. A Fig 2-35 mostra a aceleração a ( t ) da cabeça de um jogador de futebol sem e com capacete, a partir do repouso. A escala vertical é definida por a 1 = 200   m / s 2 . Qual é a diferença entre a velocidade da cabeça sem e com o capacete no instante t = 7,0   m s   ?

Passo 1

Para começar vamos lembrar a definição de velocidade:

v ( t ) =   ∫ a t d t

sem esquecer que a integral é a área da função que estamos integrando.

O exercício nos deu o gráfico da aceleração em duas ocasiões: uma com capacete (gráfico menor) e outra sem capacete (gráfico maior). Então, a partir das áreas dos gráficos, conseguimos extrair o valor da velocidade em cada instante de tempo.

Assim, podemos encontrar a diferença entre a velocidade da cabeça sem e com capacete no instante t = 7,0   m s ( v d ) calculando a diferença dessas áreas ( A T o t a l 1 -   A T o t a l 2 ).

Porém, como nem tudo são flores, precisamos prestar atenção as unidades do problema. O eixo da aceleração (eixo y ) está em m / s 2 e o eixo do tempo (eixo x ) está em m s , logo, precisamos consertar as unidades. Para isso, multiplicaremos o eixo do tempo por 10 - 3 para transformar de milissegundo para segundo.

Além disso, podemos ver que se a s = 200   m / s 2 , cada quadradinho no eixo y tem 20   m / s 2 .

Para resolução de problemas como este, o macete é separar o gráfico em figuras com as fórmulas de áreas conhecidas. As fórmulas das áreas figuras que aparecem neste exercício são:

A t r i â n g u l o = b × h 2

A t r a p é z i o = B + b × h 2

A r e t â n g u l o = b × h

Passo 2

Vamos iniciar calculando a velocidade da cabeça sem capacete ( v s ), para isso, calcularemos a área A s .

Neste caso, dividiremos a área total em dois triângulo e dois trapézios.

Primeira divisão (triângulo amarelo):

A s 1 = ( 2 - 0 ) × 10 - 3 × 6 × 20 2 = 0 , 12   m / s

Segunda divisão (trapézio vermelho):

A s 2 = 7 × 20 + 6 × 20 × ( 4 - 2 ) × 10 - 3 2 = 0 , 26   m / s

Terceira divisão (trapézio verde):

A s 3 = 10 × 20 + 7 × 20 × 6 - 4 × 10 - 3 2 = 0,3 4   m / s

Quarta divisão (triângulo azul):

A s 4 = 10 × 20 × 7 - 6 × 10 - 3 2 = 0 , 1   m / s

Assim, encontramos a velocidade da cabeça sem capacete ( v s ) no instante t = 7,0   m s somando as áreas acima:

v s = A s = A s 1 +   A s 2 +   A s 3 + A s 4 = 0,12 + 0,2 + 0 , 34 + 0 , 10 = 0 , 82   m / s

Passo 3

Agora, faremos de maneira análoga para calcular a velocidade da cabeça com capacete ( v c ). A área que calcularemos é:

Para este, calcularemos as áreas de dois triângulos, um retângulo e um trapézio.

Primeira divisão (triângulo amarelo):

A c 1 = 2 × 20 × 3 - 0 × 10 - 3 2 = 0 , 06   m / s

Segunda divisão (retângulo vermelho):

A c 2 = 4 - 3 × 10 - 3 × 2 × 20 = 0 , 04   m / s

Terceira divisão (trapézio verde):

A c 3 = 6 - 4 × 10 - 3 × 2 × 20 + 4 × 20 2 = 0 , 12   m / s

Quarta divisão (triângulo azul):

A c 4 = 7 - 6 × 10 - 3 × 4 × 20 2 = 0 , 04   m / s

Assim, a velocidade da cabeça com capacete ( v c ) no instante t = 7,0   m / s é:

v c = A c = A c 1 +   A c 2 +   A c 3 +   A c 4 = 0 ,   0 6 + 0 , 04 + 0 , 12 + 0 , 04 = 0 , 26   m / s

Passo 4

Para finalizar, o exercício pede a diferença entre a velocidade da cabeça sem e com capacete ( v d ). Com os valores das velocidades em mãos, basta subtrair uma da outra:

v d = v s -   v c = 0 , 82 - 0 , 26 = 0 , 56   m / s

Resposta

v d = 0 , 56   m / s

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