Enunciado

Bola não homogênea. Na figura abaixo uma bola de massa M e raio R rola suavemente, a partir do repouso, descendo uma rampa e passando por uma pista circular com 0,48 m de raio. A altura inicial da bola é h = 0,36 m . Na parte mais baixa da curva, o módulo da força normal que a pista exerce sobre a bola é 2 M g . A bola é formada por uma casca esférica extrerna homogênea (com uma certa massa específica) e uma esfera central , também homogênea (mas com massa específica diferente). O momento de inércia da bola é dado pela expressão geral I = β M R 2 , mas β não é igual a 0,4 , como no caso de uma bola homogênea. Determine o valor de β .

Passo 1

Falaa ai galerinha bonita, tudo jóinha? Bora lá praticar a mecânica rotacional? Então vem comigo!!

Como o problema não fala em forças dissipativas, podemos considerar o sistema conservativo e aplicar o princípio de conservação e energia em dois pontos: no de máxima energia potencial e de máxima energia cinética! Traduzindo: no ponto mais alto do movimento, só possuímos energia potencial gravitacional, de maneira quea energia mecânica inicial E i é dada como:

E i = M g h

Onde M é a massa da esfera. Agora no ponto mais baixo, no vale do movimento, toda aquela energia potencial, se transforma em energia cinética, de forma que a enrgia mecânica final é forma puramente de enegria cinética, tanto de translação, quanto de rotação, tal que:

E f = 1 2 I ω 2 + 1 2 M v 2

Sendo assim, pela conservação da energia, temos que:

E i = E f

M g h = 1 2 I ω 2 + 1 2 M v 2

Ta, mas aqui não temos as velocidades... Mas saca só, a sagacidade aqui, é a gente perceber que no ponto mais baixo da movimento, de acordo com o enunciado, a pista possui uma forma circular de raio r = 0,48   m de maneira que a esfera passa a descrever uma trajetória circular. Portanto quando a bola está na parte mais baixa da curva, a força normal exercida pela superfície na bola F N menos a força peso P é igual a força centrípeta e consequentemente temos aqui uma aceleração centrípeta a c . Então da segunda lei de Newton temos:

F N - P = m . a c

Do enunciado temos F N = 2 M g . E a aceleração centrípeta é dada pela fórmula:

a c = v 2 r

Assim na equação ali em cima, teremos que:

F N - P = m . a c

2 M g - M g = M v 2 r

Logo:

M g = M v 2 r

v 2 = g r

E como não há deslizamento, ω = v / R , então para a velocidade angular:

ω = v R

ω 2 = v 2 R 2

Logo:

ω 2 = g r R 2

Passo 2

Podemos colocar todas essas informações na equação da energia, que foi a primeira coisa que achamos, lá em cima no passo anterior:

M g h = 1 2 I ω 2 + 1 2 M v 2

M g h = 1 2 I g r R 2 + 1 2 M g r

Vamos multiplicar tudo por 2 e cortar g em todos os termos, de forma que:

2 M h = I r R 2 + M r

2 M h R 2 = I r + M r R 2

Isolando I :

I = 2 h M R 2 r - M R 2

E como temos que I = β M R 2 , então:

β M R 2 = 2 h M R 2 r - M R 2

Tal que:

β = 2 h r - 1

Então substituindo os valores que enunciado deu pra gente:

β = 2 × 0,36 0,48   - 1

β = 0,5

Assim β = 0,5

Show!

Bora treinar mais?

Resposta

β = 0,5

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