Enunciado

Uma bola de vôlei impelida verticalmente para cima, a partir de um ponto próximo do chão, passa pela altura da rede 0,3s depois, subindo, e volta a passar por ela, descendo, 1,7s depois do arremesso. (a) Qual é a velocidade inicial da bola? (b) Até que altura máxima ela sobe? (c) Qual é a altura da rede?

Passo 1

Para melhor entendermos esse problema, vamos aqui trazer um desenho do que está acontecendo:

Em palavras, temos uma bola de vôlei sendo lançada verticalmente para cima a partir do chão. E ela passa pela altura rede duas vezes (uma na ida no tempo t 1 ) e outra na volta (no tempo t 2 ). As únicas informações que temos são as de tempo ( t 1 = 0,3 s ) e ( t 2 = 1,7 s ).

E aí vem a grande pergunta: existe alguma fórmula que relaciona só os tempos de subida e descida para encontrar algum dado importante como a altura da rede, por exemplo? Vamos ver no próximo passo que sim, e na verdade já tivemos um pequeno gostinho dessa maravilhosa fórmula no problema anterior:

g = 2 h t 1 t 2

Temos a gravidade, e os tempos então teremos a altura da rede ! Mas vamos provar isso novamente pra essa fórmula grudar na sua mente!

Passo 2

Sabemos por uma das equações da cinemática estudadas nesse capítulo que a altura pode ser dada por...

h = v o t 1 - g 2 t 1 2     ( i )

Onde v 0 é a velocidade inicial que a bola sai do chão e t 1 um tempo que ela leva para chegar até a altura h .

Além disso, sabemos que a bola passa novamente pela rede no instante t 2 , e a equação continua valendo, ou seja: h = v o t 1 - g 2 t 2 2 . Então, a única variável que não está na fórmula que queremos chegar é o v o , então vamos isolá-lo e substituí-lo na segunda equação.

v o = h + g 2 t 1 2 t 1       →

h = h + g 2 t 1 2 t 1 t 2 - g 2 t 2 2   →

Multiplicando todo mundo por t 1 ...

h t 1 = h + g 2 t 1 2 t 2 - g 2 t 2 2 t 1 →

Dividindo todo mundo por t 2 agora...

h t 1 t 2 = h + g 2 t 1 2 - g 2 t 2 t 1 →

  h t 1 t 2 - 1 = g 2 t 1 2 - t 2 t 1   →

Isolando a gravidade g ...

2 h t 1 t 2 - 1 t 1 2 - t 2 t 1 = g →

Agora perceba que para simplificar mais um pouco, podemos multiplicar e dividir por t 2 do lado esquerdo...

2 h t 2 t 2 t 1 t 2 - 1 t 1 2 - t 2 t 1 = g →

2 h ( t 1 - t 2 ) t 1 t 2 t 1 - t 2 = g   →

g = 2 h t 1 t 2

VIU SÓ! Essa equação a gente também deduzimos no exercício anterior, mas que mal faz deduzirmos novamente não é não?

Passo 3

Beleza, com essa equação em mãos, e como conhecemos a gravidade e os dois tempos no qual a bola passa pela rede... Só nos resta descobrir a altura da rede.

h = g t 1 t 2 2 = 9,8   .   0,3   .   1,7 2 = 2,5   m

h r e d e = 2,5   m

Passo 4

Sabendo a altura da rede basta utilizar a equação da cinemática que relaciona altura e velocidade inicial...

h r e d e = v o t 1 - g 2 t 1 2 →

2,5 = v o 0,3 - 4,9   .   0,3 2 →

Então...

v o = 2,5 + 4,9   .     0,3 2 0,3 = 9,8   m / s

Passo 5

Para a altura máxima usamos a fórmula de torricelli e tá no papo a questão

v f 2 - v 0 2 = 2 a Δ h →

0 - 9,8 2 =   - 9,8   .   2   .   Δ h →

Δ h = h m á x = 4,9   m

Então olha que massa! Apenas conhecendo dois tempos (os dois tempos que ela cruza a rede), a gente descobre a altura da rede, a altura máxima que ela sobe! Viva a cinemática!

Resposta

a )   v o = 9,8   m / s

b )   h m á x = 4,9   m

c )   h r e d e = 2,5   m

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