Enunciado

Uma bolinha amarrad a um fio e comprimento l = 1 m gira num plano vertical. a) Qual deve ser a velocidade da bolinha no ponto mais baixo B (Fig.) para que ela descreva o círculo completo? b) A velocidade satisfazendo a esta condição, verifica-se que a tensão do fio quando a bolinha passa por B difere 4,41 N da tensão quando ela passa pela posição horizontal A. Qual é a massa da bolinha?

Passo 1

  1. Vamos considerar o ponto em que a bolinha está em cima, nesse caso temos o seguinte esquema

Aqui poderemos ter a força de tração atuando também, caso a bola estivesse numa velocidade muito alta, mas como queremos a velocidade mínima para que a bola faça a volta temos T = 0

F c p = P

m v 0 2 l = m g

v 0 = g l

Deste ponto até que a bola chege em B a gravidade terá realizado um trabalho positivo na massa

W g = W r e s = m g 2 l

Pelo teorema do trabaho – energia cinética temos

Δ K = 2 m g l

m v b 2 - m v 0 2 2 = 2 m g l

m v b 2 = 4 m g l + m v 0 2

m v b 2 = 4 m g l + m   g l 2

Finalmente,

v b = 5 g l

= 5   .   9,8   .   1

= 7   m / s

Passo 2

  1. Vamos separar as situações primeiro
  • Caso horizontal
  • Aqui a tração é a única que aponta para o centro, então

    T a = F c p

    T a = m v a 2 l       ( 1 )

    Mas quem é nossa velocidade horizontal v a ? Pela conservação de energia sabemos que

    Δ K + Δ U g = 0

    Passando a energia potencial pra direita,

    m v a 2 - m v b 2 2 =   - m g l

    (A bolinha subiu uma altura l da vertical para a horizontal)

    v a 2 = v b 2 - 2 g l

    Substituindo esse valor na equação ( 1 ) , fica assim

    T a = m ( v b 2 - 2 g l ) l

  • Caso vertical

(Temos o peso para baixo e a tração para o centro)

T b - m g = F c p

T b = m ( v b 2 + g ) l

Mas pelo problema a gente sabe que T b = T a + 4,41

m ( v b 2 + g ) l = m v b 2 - 2 m g l l + 4,41

m g + 2 m g l l = 4,41

Como l = 1 m , temos

3 m g = 4,41

m = 4,41 3 g = 0,15   K g

= 150   g

Resposta

a )   7 m / s

b )   150   g

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