Enunciado

Um vagão de massa m 1 = 4   t o n e l a d a s está sobre um plano inclinado de inclinação θ = 45 ° , ligado a uma massa suspensa m 2 = 500   K g pelo sistema de cabo e polias ilustrado na Fig. Supõe-se que o cabo é inextensível e que a massa do cabo e das polias é desprezível em confronto com as demais. O coeficiente de atrito cinético entre o vagão e o plano inclinado é μ c = 0,5 e o sistema é solto do repouso. a) Determine as relações entre os deslocamentos s 1 e s 2 e as velocidades v 1 e v 2 das massas m 1   e   m 2 , respectivamente. b) Utilizando a conservação de energia, calcule de que distância o vagão se terá deslocado ao longo do plano inclinado quando sua velocidade atingir 4,5   k m / h .

Passo 1

  1. Galera, aqui é essencial olhar primeiro para a quantidade de cabo. Quando a massa 2 se deslocar, vai puxar uma certa quantidade de cabo igual do outro lado. Nesse caso um deslocamento s 2 da massa 2 gera um deslocamento s 1 = s 2 2 da massa 1. Isso porque para a polia móvel cada lado do cabo só se mexe metade do deslocamento do outro cabo que está segurando m 2 . Vamos lá descobrir as velocidades agora
  2. s 1 = s 2 2

    d s 1 d t = 1 2 d s 2 d t

    v 1 = v 2 2

    Passo 2

  3. Para fazer esse cálculo vamos considerar o potencial gravitacional na situação inicial como 0. Além disso, sabemos que a energia cinética inicial é 0 também.

Δ E = W e x t

Δ U + Δ K = W f a t

  • Δ U =   - m 1 g Δ h 1 + m 2 g Δ h 2
  • Δ K = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2
  • W f a t = - ( m 1 g c o s θ ) . μ c . Δ s 1

Para facilitar nossas contas vamos fazer as seguintes modificações, sabemos que m 1 8 = m 2   e que v 2 = 2 v 1 . Pronto, a variação de energia cinética Δ K energia cinética vale

m 1 v 1 2 2 + m 1 8 2 v 1 2 2

= m 1 v 1 2 2 + m 1 v 1 2 4

= 3 4 m 1 v 1 2

Vamos trabalhar com a energia potencial agora. A gente sabe que a altura vertical percorrida pelo carrinho tem uma relação com a distância percorrida no plano na mesma proporção que que cateto oposto e hipotenusa do nosso plano, beleza? Então sabemos que

Δ h 1 = Δ s 1 c o s 45 °

= Δ s 1 2  

Outra coisa importante é a relação que descobrimos no começo, onde Δ h 2 = 2 Δ s 1 . Se a gente juntar essas 2 relações nossa variação de potencial fica

Δ U = - m 1 g Δ s 1 2 + m 1 g 8 2 Δ s 1

= - 2 2 2 2 m 1 g Δ s 1 2 + m 1 g Δ s 1 4

= m 1 g Δ s 1 1 - 2 2 4

Por último temos o trabalho do atrito, vamos usar o dado c o s θ = 1 2   e μ c = 1 2

W f a t = - m 1 g Δ s 1 2 2

= - 2 m 1 g Δ s 1 4

Bora juntar tudo agora e fazer as continhas bem mais rápido

m 1 g Δ s 1 1 - 2 2 4 + 3 4 m 1 v 1 2 = - 2 m 1 g Δ s 1 4

Juntando os termos em comum com a massa gravidade e deslocamento temos

m 1 g Δ s 1 1 - 2 2 + 2 4 =   - 3 4 m 1 v 1 2

Eliminando os termos em comum dos dois lados fica assim

g Δ s 1 1 - 2 2 + 2 = - 3 v 1 2

Δ s 1 =   - 3 v 1 2 g 1 - 2 2 + 2

Só temos que ter o cuidado agora de usar v em m / s  

v = 4,5   k m / h

= 4,5 3,6   m / s = 1,25   m / s

Substituindo na conta,

Δ s 1 =   - 3   .   1,25 2 9,8 1 - 2 2 + 2

= 1,155   m

Resposta

Δ s 1 = 1,155   m

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