Enunciado

Bombeiros estão lançando um jato de água em um prédio em chamas, usando uma mangueira de alta pressão que dispara água a uma velocidade escalar de 25,0   m / s . Quando sai da mangueira, a água passa a adquirir o movimento de um projétil. Os bombeiros ajustam o ângulo de elevação α da mangueira até a água levar 3,0   s para atingir o prédio a 45,0   m de distância. Despreze a resistência do ar e suponha que o final da mangueira está ao nível do solo. a) Ache o ângulo de elevação α . b) Ache a velocidade escalar e a aceleração da água no ponto mais alto de sua trajetória. c) A que altura do chão a água atinge o prédio e qual sua velocidade pouco antes de atingir o prédio?

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom?

Vamos desenhar o que enunciado nos contou!

A água percorre 45 m horizontalmente ( e i x o   x ) em   3 s . E ela está sempre sob a acelaração da gravidade. E vamos tomar como + y para cima.

A velocidade escalar com que a água sai da torneira pode ser decomposta em duas componentes, uma no eixo x e outra no eixo   y de acordo com o ângulo de elevação :

Assim nós temos que: a x = 0 a y = - g = - 9,8 m / s 2 v 0 x = v 0 cos ⁡ α v y = v 0 sen ⁡ α

Partiu resolver a questão!

Passo 2

  1. Para encontrarmos o ângulo de elevação α vamos partir da equação:
  2. ∆ x = v 0 x t + a x t 2 2

    Como a aceleração no eixo x é igual a zero a x = 0 :

    ∆ x = v 0 x t

    Vamos substituir a expressão da velocidade no eixo x   em função da velocidade escalar da água quando sai da mangueira:

    ∆ x = v 0 cos ⁡ α ⋅ t

    Logo:

    cos ⁡ α = ∆ x v 0 ⋅ t

    Substituindo os valores que já conhecemos, como a distância percorrida pela água ∆ x = 45 m , a velocidade escalar da água v 0 = 25 m / s e o tempo t = 3 s :

    cos ⁡ α = 45 m 25 m / s ⋅ 3 s = 0,600

    Encontramos então o ângulo de elevação da mangueira:

    α = arccos ⁡ 0,600 ⁡ = 53,1 °

    Tranquilo até aqui?

    Passo 3

  3. Vamos decompor o componentes da velocidade, no ponto mais alto, temos que:
  4. v x = v 0 x = 25 m / s   ⋅ cos ⁡ 53,1 ° = 15 m / s

    A velocidade no eixo x não varia, pois a aceleração é sempre igual a 0 . Isso não ocorre no eixo y , uma vez que temos a aceleração da gravidade.

    Concorda comigo que a velocidade no eixo y era positiva antes do ponto máximo da curva, mas depois disso a água começa a cair, então a velocidade se torna negativa considerando o nosso eixo y ? Isso ocorre, pois no ponto mais alto da trajetória, a velocidade v y é igual a:

    v y = 0

    E então no ponto mais alto da trajetória, a velocidade escalar é:

    v = v x 2 + v y 2

    v = ( 15 m / s ) 2 + 0 2 = 225 m / s = 15 m / s

    Como a aceleração do projétil continua sendo a mesma aceleração da gravidade:

    a x = 0

    a y = - 9,81 m / s 2

    E então no ponto mais alto da trajetória, a aceleração escalar é:

    a = a x 2 + a y 2

    a = 9,81 m / s 2

    Bacana, não é?

    Passo 4

  5. No tempo de: t = 3 s vamos encontrar a posição ∆ y através da equação:

∆ y = v 0 y ⋅ t + a y t 2 2

∆ y =   v 0 sen ⁡ α t + a y t 2 2

Substituindo os valores que já conhecemos:

∆ y = 25 m s s e n ( 53,1 ° ) ⋅ 3 s + ( - 9,8 m / s 2 ) ( 3 s ) 2 2 = 15,9 m

Está acompanhando?

Passo 3

E então, temos que a velocidade nessas componentes pouco antes de atingir o prédio é de:

v x = v 0 x + a x t

v x = 15 m s + 0 t

v x = 15 m / s

Agora a componente em y

v y = v 0 y + a y t

v y = 25 m s ⋅ sen ⁡ 53,1 ° - 9,8 m s 2 ⋅ 3 s

v y = - 9,41 m / s

E então:

v = v x 2 + v y 2

v = ( 15 m / s ) 2 + ( - 9,41 m / s ) 2 = 17,7 m / s

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

  1. 53,1 °
  2. v = 15 m / s e a = 9,81 m s 2
  3. ∆ y = 15,9 m e v = 17,7 m / s
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