Enunciado

Se r → = b t 2 i → + c t 3 j → , onde b e c são constantes positivas, quando o vetor velocidade criará um ângulo de 45,0 ° com os eixos x e y ?

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar o instante t em que a velocidade da partícula dada criará um ângulo de 45,0 ° com os eixos x e y . Nós sabemos que a trajetória dessa partícula é descrita pelo vetor posição:

r → = b t 2 i → + c t 3 j →

E que a velocidade é definida como a derivada da posição, ou seja, v → = d r → d t . Este vetor faz um ângulo de 45° com ambos os eixos quando seus componentes x e y são iguais.

Então, vamos derivar a equação vetorial de r → e igualar as componentes v x e v y da velocidade para obter o valor de t na expressão.

Vamos lá!

Passo 2

Usando a regrinha da potência na derivação ( d t n d t = n t n - 1 ), temos:

v → = d d t b t 2 i → + c t 3 j →

v → = 2 b t i → + 3 c t 2 j →

Então, as componentes da velocidade são:

v x = 2 b t

v y = 3 c t 2

Igualando as componentes, vamos ter:

v x = v y

2 b t = 3 c t 2

E isolando o tempo t , obtemos:

t = 2 b 3 c

Ambos os componentes de   v → mudam com t .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

t = 2 b 3 c

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