Enunciado

Uma bussola tem sua agulha de massa 0,05 kg e comprimento 4,0 cm, alinhada ao componente horizontal do campo magnético da Terra num local onde B = 16 μ T . Posteriormente, a bussola recebe uma leve sacudidela e, em consequência, a agulha passa a oscilar com uma frequência angular ω = 45 rad/s. Supondo que agulha seja uma barra fina uniforme montada no centro da bussola, determine seu momento de dipolo magnético.

Passo 1

Fala minha galera querida!! A energia potencial associada à interação do dipolo magnético da bussola com o campo magnético da Terra é dada por:

U = - μ → ⋅ B t → = - μ B t cos ⁡ θ

Sendo θ , o ângulo entre μ → e B t → . Caso θ seja pequeno, podemos reescrever a função cos como:

U θ = - μ B t cos ⁡ θ ≈ - μ B t 1 - θ 2 2

U θ ≈ - μ B t + 1 2 μ B t θ 2

Passo 2

Sabe-se que a constante elástica, é μ B t , assim podemos aplicar lei a conservação da energia ao movimento da agulha da bússola,

1 2 I d θ d t 2 + 1 2 k θ 2 = c o n s t .

Se notarmos bem, essa expressão é semelhante à da conservação da energia mecânica em um sistema massa-mola:

1 2 m d x d t 2 + 1 2 k x 2 = c o n s t

Em que tiramos a velocidade angular,

ω = k m

Passo 3

Vamos desenvolver por analogia então,

ω = k m = μ B t I

O momento de inércia para uma barra final a partir do centro é I = m l 2 / 12 .

ω = 12 μ B t m l 2

Só substituir os valores e encontrar o momento:

45 = 12 ⋅ μ ⋅ 16 ⋅ 10 - 6 0,05 ⋅ 4 ⋅ 10 - 2 2

μ = 8,4 ⋅ 10 2   J / T

Bora pro próximo.

Resposta

μ = 8,4 ⋅ 10 2   J / T .

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