Enunciado

Uma caixa de 1,0 L contém N moléculas de um gás ideal, e as posições das moléculas são observadas 100 vezes por segundo. Calcule o temo médio que deve decorrer antes que se possa observar toas as N moléculas na metade esquerda da caixa, se N é igual a (a) 10 , (b) 100 , (c) 1000 e (d) 1   m o l . (e) O melhor vácuo que se conseguiu até hoje tem pressões de cerca de 10 - 12 t o r r . Se uma câmara de vácuo tem o mesmo volume que a caixa, quanto tempo um físico teria que esperar para ver todas as moléculas na câmara de vácuo ocupando apenas sua metade esquerda? Compare com a vida média esperada do universo, que é de aproximadamente 10 10 anos.

Passo 1

Vamos pensar nessa probabilidade aí que é a parte mais difícil. Para uma molécula, a probabilidade de ela estar em um lado ou outro da caixa é 100 % ( 50 % de estar do lado esquerdo e 50 % de estar do lado direito). Para duas moléculas, a probabilidade de estarem em um lado ou outro é 50 % ( 25 % de estarem as duas no lado esquerdo e 25 % de estarem as duas no lado direito). Para três moléculas, a probabilidade de estarem em um lado ou outro é 25 % ( 12.5 % de estarem as duas no lado esquerdo e 12.5 % de estarem as duas no lado direito). Pegou a lógica? A probabilidade das N moléculas estarem do mesmo lado é:

P = 2 2 N

Bom, ele fala que as moléculas se embaralham a cada 100 segundos, então demora um tempo igual a t = 2 N 2 100 para elas percorrerem todas as posições possíveis.

Lembrete: um ano tem 3.156 × 10 7 segundos.

Passo 2

  1. Para N = 10 :
  2. t = 2 10 2 100 s - 1 = 5.12 s

    Passo 3

  3. Para N = 100 :
  4. t = 2 10 0 2 100 s - 1 = 6.34 × 10 27 s

    t = 2 × 10 20   a n o s

    Passo 4

  5. Para N = 100 0 :
  6. t = 2 100 0 2 100 s - 1

    Vamos achar a potência de 10 que mais se aproxima de 2 1000 :

    2 1000 = 10 x

    x = 1000 l o g 2

    x = 301

    Então:

    t = 10 301 2 100 = 0.5 × 10 299 s

    t = 2 × 10 291   a n o s

    Passo 5

  7. Para N = 1   m o l :
  8. t = 2 6.022 × 10 23 2 100 s - 1

    Vamos achar a potência de 10 que mais se aproxima de 2 6.022 × 10 23 :

    2 6.022 × 10 23 = 10 x

    x = 6.022 × 10 23 l o g 2

    x = 10 23

    Então:

    t = 10 10 23 2 100

    t ≈ 10 10 23   a n o s

    Passo 6

  9. Pela lei dos gases ideais:

P V = N k T

N = P V k T

N = 10 - 12   t o r r 133.32 P a t o r r 1.0 L 1.381 × 10 - 23 J K 300 K

N = 3.22 × 10 7

Então para essa quantidade de moléculas,

t = 2 3.22 × 10 7 2 100

Vamos achar a potência de 10 que mais se aproxima de 2 3.22 × 10 7 :

2 3.22 × 10 7 = 10 x

x = 3.22 × 10 7 l o g 2

x = 10 7

Então,

t = 2 3.22 × 10 7 2 100 = 10 10 7 2 100

t = 10 10 7   a n o s

Em comparação com o tempo de vida do universo:

t t u n i v e r s o = 10 10 7 10 10 ≈ 10 10 7

Resposta

  1. 5.12 s
  2. 2 × 10 20   a n o s
  3. 2 × 10 291   a n o s
  4. 10 10 23   a n o s
  5. 10 10 7   a n o s
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