Enunciado

40. Uma caixa de 4,0   k g , sobre uma rampa sem atrito e inclinada em 35°, está ligada a um peso de 20   k g , suspenso, através de um barbante de massa desprezível que passa por uma polia, também sem massa e livre de atrito. O desenho da situação é semelhante ao da Figura P7.39.

  1. Quanto vale a tensão na corda quando a caixa de 4,0   k g é mantida no lugar e não pode se mover?
  2. Se, então, a caixa for liberada, de que maneira ela se moverá na rampa?
  3. Quanto vale a tensão na corda uma vez que a caixa tenha começado a deslizar?

Passo 1

Nesse exercício é fundamental analisar e aplicar as Leis de Newton então precisamos lembrá-las:

Primeira Lei – Um objeto permanecerá em repouso ou continuará movendo-se com velocidade constante (equilíbrio) se e somente se F → r e s = 0 →

Segunda Lei – F → r e s = m a →

Terceira Lei – F → A   s o b r e   B = - F → B   s o b r e   A

Vamos também desenhar o diagrama de força tanto da caixa m quanto da caixa M pois assim podemos ver que forças agem sobre cada caixa de forma explícita.

Agora que as leis estão frescas na nossa cabeça e temos nosso diagrama vamos com calma que eu vou explicar tudinho para você!

Passo 2

a ) A grande sacada inicial que temos que ter esse exercício é olhar o diagrama de forças e ver que podemos usar a terceira Lei de Newton de forma muito eficiente. Mas como ela vai nos ajudar a descobrir quem é a tração da corda ( T ) ?

A força (de tensão) que a corda faz na caixa m é a mesma (com sentido oposto) que caixa m faz na corda.

A força (de tensão) que a corda faz na caixa M é a mesma (com sentido oposto) que caixa M faz na corda.

Sendo assim, podemos afirmar que:

T M = T m = T

Então, basta achar T M ou T m para saber quem é T .

Olhando o diagrama de forças podemos ver que T M é muito mais fácil de achar então, usando a segunda Lei de Newton, sabemos que:

F → r e s = T M + M g

E agora? Bom, por não ter atrito da caixa m com a rampa quando a caixa m for solta haverá movimento para um dos lados e isso fará a caixa M se mover também.

Contudo, esse item pede a tensão da corda quando a caixa M NÃO se move, ou seja, o sistema está sendo “segurado”, e se isso acontece ele está em equilíbrio.

Se o sistema está em equilíbrio, de acordo com a primeira lei, sabemos que:

F → r e s = 0   N

Agora podemos resolver.

Passo 3

Juntando tudo o que chegamos no passo anterior temos que:

F r e s = T M + - M g = 0   N → T M = M g

Substituindo o que temos:

T M = ( 20   k g ) ( 9,8   m / s ² ) = 196   N

Ou seja:

T = 196   N

Passo 4

b ) A caixa m poderá subir ou descer a rampa, porém vamos descobrir o que ela fazendo a partir da aceleração (se positiva ou negativa) então iremos usar novamente a Lei de Newton mas aqui vem a particularidade pois ambas as caixas estão em movimento, sendo assim:

( F r e s ) m   = T - m g s e n   θ = m a m

( F r e s ) M   = T - M g = M a M

Como as caixas vão se mover então há apenas dois movimentos possíveis: Se m está subindo, M está descendo ou se m está descendo, M está subido e a partir disso podemos afirmar que elas possuem a mesma aceleração, porém com sentido oposto. Podemos dizer que:

a m = a =   - a M

Nossas equações ficam na forma:

T - m g s e n   θ = m a → T = m a + m g s e n   θ

T - M g = - M a → T = - M a + M g

Igualando as duas equações:

m a + m g s e n   θ = - M a + M g

Estamos pertinho do resultado, vamos lá.

Passo 5

Agora nos basta isolar o a já que é o valor que queremos.

m a + M a = M g - m g s e n θ → a = g M - m s e n θ m + M

Agora vamos substituir todos os valores que temos:

a = ( 9,8   m / s ² ) ( 20   k g ) - ( 4   k g ) s e n   35 ° ( 4   k g ) + ( 20   k g ) = 7,2   m / s ²

a > 0   m / s ² , ou seja, a caixa m acelera para cima.

Passo 6

c ) Esse item vai ficar fácil de resolver pois no Passo 4 encontramos duas equações para encontrar o T em movimento, é só escolher a mais simples e substituir os valores que temos, ou seja:

T = - M a + M g = ( 20   k g ) ( 9,8   m / s ² - 7,2   m / s ² ) = 52   N

Pronto, resolvemos tudo!

Resposta

a )   T = 196   N

b )   a = 7,2   m / s ²

c )   T = 52   N

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