Enunciado

Calcule o campo elétrico a uma distância z de um plano não condutor plano e infinito, uniformemente carregado, considerando o plano como um contínuo de infinitas linhas retas de carga.

Passo 1

Veja a figura a seguir.

Aqui, os fios estão posicionados de maneira perpendicular à página (estamos vendo apenas uma seção do fio). Sabemos que cada fio produz um campo elétrico dado por:

d E = d λ 2 π ε 0 D

Assim, vamos considerar o plano como sendo a função de infinitos fios. Suponha que cada fio tenha uma largura d x . Sendo l o comprimento de cada fio, teremos:

σ = Q x l = Q l ⋅ 1 x = λ x ⟹ λ = x σ

Assim

d λ = σ   d x

Passo 2

Dessa forma, temos que

d E = σ 2 π ε 0 d x D

Da figura, temos que

D = y sec ⁡ θ

e

x = y tg ⁡ θ ⟹ d x = y sec 2 ⁡ θ   d θ

Assim, segue que:

d E = σ 2 π ε 0 y sec 2 ⁡ θ   d θ y sec ⁡ θ = σ 2 π ε 0 sec ⁡ θ   d θ

Analisando a figura, apenas a componente y do campo elétrico não é cancelado. Assim,

d E y = d E cos ⁡ θ = σ 2 π ε 0   d θ

Passo 3

Agora, bastará integrar de - π / 2 até + π / 2 (isso faz com que o número de fios aumente indefinidamente). Assim,

E y = ∫ - π 2 π 2 σ 2 π ε 0 d θ = σ 2 ε 0

que é o valor que já conhecemos (veja como a lei de Gauss facilita muito a nossa vida nessa situação!!!).

Resposta

O campo elétrico vale E y = σ / 2 ε 0

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