Enunciado

Mostre que uma linha de carga infinita, com densidade linear de carga , exerce sobre um dipolo elétrico uma força atrativa de intensidade F = 2 λ p 4 π ϵ 0   r 2 . Considere que r seja muito maior do que a separação entre as cargas do dipolo.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Sabemos que:

F = q E

Então precisamos saber o campo elétrico que, neste caso, uma linha de carga infinita exerce a um ponto com a uma distancia d. Vamos lá acha-lo?!

Vemos que as componentes em y se cancelam, sobrando somente em x, de forma que:

E b a s t ã o = E i x cos ⁡ θ

Sabemos que o campo elétrico é dado por:

d E = 1 4 π ϵ 0   d Q r 2  

Assim:

d E b a s t ã o = 1 4 π ϵ 0   d Q r 2 cos ⁡ θ

Pela imagem, vemos que:

cos ⁡ θ = d R

E que:

R = y 2 + d 2

Assim:

cos ⁡ θ = d y 2 + d 2

E ficando:

d E b a s t ã o = 1 4 π ϵ 0   d Q y 2 + d 2 d y 2 + d 2  

d E b a s t ã o = 1 4 π ϵ 0   d   d Q y 2 + d 2 3 2  

E sabemos que a densidade linear de carga é:

λ = Q L

Logo:

Q = λ L → d Q = λ d L

Vemos na imagem que d L = d y

Assim ficamos com:

d E b a s t ã o = 1 4 π ϵ 0   d * λ   d y y 2 + d 2 3 2  

Integrando sabendo que - L 2 ≤ y ≤ + L 2  

E b a s t ã o = λ d 4 π ϵ 0 ∫ - L 2 L 2 d y y 2 + d 2 3 2

E b a s t ã o = λ d 4 π ϵ 0 ∫ - L 2 L 2 d y d 2 y d 2 + 1 3 2

E b a s t ã o = λ d 4 π ϵ 0 ∫ - L 2 L 2 d y d 3 y d 2 + 1 3 2

Façamos:

y d = tan ⁡ θ

Logo:

d y = d  sec 2 ⁡ θ   d θ

E quando:

y = L 2 → θ = tan - 1 ⁡ L 2 d

E:

y = - L 2 → θ = tan - 1 ⁡ - L 2 d

Assim ficando:

E b a s t ã o = λ d 4 π ϵ 0 ∫ tan - 1 ⁡ - L 2 d tan - 1 ⁡ L 2 d d  sec 2 ⁡ θ   d θ d 3 tan 2 ⁡ θ + 1 3 2

E b a s t ã o = λ 4 π ϵ 0 1 d ∫ tan - 1 ⁡ - L 2 d tan - 1 ⁡ L 2 d   sec 2 ⁡ θ   d θ tan 2 ⁡ θ + 1 3 2

Sabemos que:

tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ

E b a s t ã o = λ 4 π ϵ 0 1 d ∫ tan - 1 ⁡ - L 2 d tan - 1 ⁡ L 2 d   sec 2 ⁡ θ   d θ sec 3 ⁡ θ

E b a s t ã o = λ 4 π ϵ 0 1 d ∫ tan - 1 ⁡ - L 2 d tan - 1 ⁡ L 2 d cos ⁡ θ   d θ

E b a s t ã o = λ 4 π ϵ 0 1 d s e n   θ - L 2 d l 2 d

E b a s t ã o = λ 4 π ϵ 0 1 d 2 L L 2 + 4 d 2

E b a s t ã o = λ 4 π ϵ 0 1 d 2 L 2 L 2 2 + d 2

E b a s t ã o = λ 4 π ϵ 0 1 d L L 2 2 + d 2

Sabemos que:

λ = Q L

∴ E b a s t ã o = 1 4 π ϵ 0 1 d Q L 2 2 + d 2

Agora, façamos esse bastão ser infinito, ou seja, L → ∞

E f i o   i n f i n i t o = 1 4 π ϵ 0 1 d Q L 2 ( 1 2 2 + d L 2

E f i o   i n f i n i t o = 1 4 π ϵ 0 1 d Q L 2

Sabemos que:

λ = Q L

∴ E f i o   i n f i n i t o = 1 4 π ϵ 0   2 λ d

Essa doeu até a mão ☹. Mas chegamos!!

Assim:

F = q 1 4 π ϵ 0   2 λ d

Passo 2

Coloquemos essa distancia d no centro do dipolo (dipolo tem comprimento s), de forma que para a carga negativa:

r + = d + s 2

E:

r - = d - s 2

Assim:

F → = q E + → - q E - → = 2 q λ 4 π ϵ 0   1 r + s 2 - 1 r - s 2   r v e r s o r

F → = 2 q λ 4 π ϵ 0   r - s 2 - r + s 2 r + s 2 r - s 2   r v e r s o r

F → = - 2 q λ 4 π ϵ 0   s r 2 - s 2 2 r v e r s o r

Sabemos que:

P = q s

F → = - λ 4 π ϵ 0   2 p r 2 - s 2 2   r v e r s o r

Passo 3

Dado que: r ≫ s   então:

F → = λ 4 π ϵ 0   2 p r 2 1 - s r 2 2

E então:

lim r → ∞ ⁡ s 2 r 2 = 0

Assim:

F → = λ 4 π ϵ 0   2 p r 2 1 - 0

∴ F → = λ 4 π ϵ 0 2 p r 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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