Calcule o campo magnético (módulo, direção e sentido) em um ponto P produzido por uma corrente I = 12,0   A no fio mostrado na Figura P28.68. O segmento BC é um arco de uma circunferência com raio de 30,0 cm e o ponto P está no centro da curvatura do arco. O segmento DA é um arco de um círculo com raio de 20,0 cm, e o ponto P está em seu centro de curvatura. Os segmentos CD e AB são linhas retas com 10,0 cm de comprimento cada.

Passo 1

E aiii gente, tudo bom com vocês? Vamos fazer mais uma questãozinha aqui! O enunciado pede pra gente achar o valor do campo magnético no ponto P, da figura. Devemos fornecer o módulo, o sentido e a direção desse campo, produzido por um fio meio estranho, na figura.

Pra resolver esse problema, vamos precisar usar a Lei de Biot-Savart, que relaciona o campo magnético gerado por uma corrente com o elemento infinitesimal de fio:

d B → = μ 0 4 π I   d l →   × r ^ r 2  

Repare que o produto vetorial d l → × r ^ só admite contribuições de fios que não sejam paralelos à direção de onde queremos analisar o campo magnético. Em outras palavras, os trechos CD e AD não produzirão campo magnético no ponto P!!

Além disso, o enunciado nos informa que o trecho DA e o trecho BC são arco de círculos, formando um ângulo interno de θ = 120 ° e raios de r B C = 30   c m e r D A = 20   c m e que a corrente que percorre o fio é de I = 12   A .

Vale lembra que podemos organizar os dados nas unidades convencionais da física:

θ = 120 ⋅ π 180 = 2 π 3

r B C = 0,3   m

r D A = 0,2   m

Com isso tudo organizado, vamos ao ataque!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o campo gerado pelo trecho BC. Aplicando Biot-Savart, temos:

d B B C = μ 0 4 π I   d l → B C   × r ^ r B C 2

A direção e sentido do campo magnético é determinada pela regra da mão direita. Como o elemento de fio que estamos analisando é perpendicular ao ponto P onde queremos avaliar, então o produto d l → × r ^ se torna apenas d l !

Podemos escrever aquele elemento d l de outra forma

Se a gente analisar bem a figura, podemos ver que o elemento d l pode ser reescrito como:

d l = r d ϕ

Assim, nosso campo magnético será:

d B B C = μ 0 4 π I   r b c d ϕ r B C 2

Se a gente integrar os dois lados, achamos o campo total do ramo B C !

B B C = μ 0 4 π I r b c ∫ 0 2 π 3 d ϕ  

Simplificando a expressão e substituindo as informações, temos:

B B C = μ 0 4 π 12 0,3 ⋅ 2 π 3

B B C = 20 3 μ 0

O valor da constante μ 0 é algo tabelado e conhecido. Seu valor é:

μ 0 = 4 π × 10 - 7   T ⋅ m / A

Substituindo esse valor na expressão que obtemos, temos:

B B C ≈ 8,4 × 10 - 8   T

O sentido do campo é dado pela regra da mão direita e é no sentido perpendicular da página, ou seja, entrando na página no ponto P!

Passo 3

Para o ramo D A , vamos fazer o mesmo processo que fizemos anteriormente. Pela expressão de Biot-Savart, temos:

d B D A = μ 0 4 π I   d l → D A   × r ^ r D A 2

Agora, podemos pular todo o passo a passo já que faremos analogamente. Nosso elemento de comprimento d l se torna:

d l = r d ϕ

O raio dessa vez é:

r D A = 0,2   m

O fio é percorrido pela mesma corrente. Dessa forma, teremos:

d B D A = μ 0 4 π I   r D A   d ϕ   r D A 2

Integrando dos dois lados, temos:

B D A = μ 0 4 π ⋅ 12 0,2 ⋅ 2 π 3  

B D A = 10 ⋅ μ 0

Substituindo o valor da constante, temos:

B D A ≈ 1 , 26 × 10 - 5   T  

O sentido do campo é saindo do plano em P !

Passo 4

Nosso vetor campo magnético resultante será dado pela soma vetorial dos campos no ponto P. Como temos campos com sentidos opostos, temos o seguinte:

B B C ≈ 8,4 × 10 - 8   T

Entrando no plano

B D A ≈ 1,26 × 10 - 5   T

Saindo do plano

Como temos:

B D A > B B C

O campo magnético resultante será no sentido perpendicular do plano, orientado para fora dele, ou seja, saindo do plano !

Seu valor será:

B R = B D A - B B C

Substituindo os valores:

B R = 1,26 × 10 - 5 - 8,4 × 10 - 8

Vamos deixar os valores nas mesmas potencias para podermos realizar a operação. Com isso, temos:

B R = 1 260 × 10 - 8 - 8,4 × 10 - 8

O valor é:

B R = 12 51,6 × 10 - 8 = 12,516   μ T

Prontinho!

Resposta

B R = 12,516   μ T

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