Enunciado

Caminhando à beira de um lago, você encontra uma corda presa a um galho forte de uma árvore que está 5,2   m acima do nível do chão. Você decide usar a corda para se balançar sobre o lago. A corda está um pouco frágil, mas aguenta o seu peso. Você estima que a corda pode se romper se a tensão é 80   N maior do que o seu peso. Você segura a corda em um ponto 4,6   m a partir do galho e se move para trás para se balançar sobre o lago. (Adote, para você próprio, o modelo de uma partícula pontual presa à corda a 4,6   m do galho.) Qual é o ângulo máximo inicial seguro entre a corda e a vertical para o qual a corda não se romperá durante o movimento? (b) Se você começa nesse ângulo máximo, e a superfície do lago está 1,2   m abaixo do nível do chão, com qual rapidez você vai entrar na água se você soltar a corda quando ela está na vertical?

Passo 1

(a) Vamos definir o zero da nossa energia potencial como estando na altura da superfície do lago:

Vamos aplicar a conservação de energia entre os pontos 1 e 2 :

K 1 + U 1 = K 2 + U 2

0 + m g h = 1 2 m v 2 2 + m g h - m g L 1 - cos ⁡ θ

E vamos resolver essa equação para encontrar θ :

1 - cos ⁡ θ = v 2 2 2 g L

cos ⁡ θ = 1 - v 2 2 2 g L

Passo 2

Agora precisamos encontrar a rapidez v 2 máxima que garante que a corda não se romperá durante o movimento.

Nesse caso máximo, a tensão sobre a corda estará exatamente no limite sugerido:

T m á x = m g + 80

Como podemos relacionar isso com a rapidez v 2 ? Bom, entre 1 e 2 , a pessoa descreve uma trajetória circular, então deve haver uma resultante centrípeta:

∑ F r = m v 2 2 L

T m á x - P = m v 2 2 L

m g + 80 - m g = m v 2 2 L

m v 2 2 L = 80

E então:

v 2 2 = 80 L m

E substituindo isso na expressão que escrevemos para o ângulo:

cos ⁡ θ = 1 - 80 L 2 g m L = 1 - 80 2 g m

E usando uma massa de 70   k g para a pessoa:

θ = arccos ⁡ 1 - 80 ( 2 ) ( 9,81 ) ( 70 ) ≅ 20 °

Passo 3

(b) Agora vamos aplicar conservação de energia entre os pontos 1 e 3 para encontrar a rapidez v 3 :

K 1 + U 1 = K 3 + U 3

Mas nós sabemos que K 1 = U 3 = 0 , então:

U 1 = K 3

m g h   = 1 2 m v 3 2

E qual é altura h que separa os pontos 1 e 3 (superfície do lago)?

O enunciado diz que a superfície do lago está 1,2   m abaixo do chão.

E no ponto inicial, você está segurando a corda a 4,6   m de distância de um galho que está 5,2   m acima do chão, formando um ângulo de 20 ° com a vertical.

Portanto a distância vertical entre você e o galho é:

4,6 cos ⁡ 20 ° = 4,32   m

Então a altura que separa você do nível do chão é:

5,2 - 4,32 = 0,88   m

E como o lago está 1,2   m abaixo do nível do chão, a sua distância vertical até o lago é:

h = 1,2 + 0,88 = 2,08   m

Substituindo isso na expressão de cima:

v 3 = 2 g h = ( 2 ) ( 9,81 ) ( 2,08 )

v 3 = 6,4   m / s

Resposta

(a) θ = 20 ° .

(b) v 3 = 6,4   m / s .

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