Enunciado

Um reboque para esquiadores está sendo desenhado, para uma nova área de prática de esqui. Ele deve ser capaz de puxar um máximo de 80 esquiadores em uma subida de 600   m , inclinada de 15 ° acima da horizontal, com uma rapidez de 2,50   m / s . O coeficiente de atrito cinético entre os esquis e a neve vale, tipicamente, 0,060 . Como gerente de instalações, você encomendaria ao fabricante um motor com qual potência, se a massa média de um esquiador é 75,0   k g ? Suponha que você deve estar preparado para qualquer emergência, encomendando uma potência 50 % maior do que o mínimo calculado.

Passo 1

Vamos começar representando a situação por um diagrama:

Como os esquiadores sobem o plano com rapidez constante, nós podemos garantir que as forças estão em equilíbrio em todas as direções. Então:

F = F a t + P x

F = μ k N + ( m g sen ⁡ θ )

E usando outra equação de equilíbrio, podemos afirmar que N = P y = m g cos ⁡ θ , então:

F = μ k m g cos ⁡ θ + m g sen ⁡ θ

Passo 2

Beleza, já temos uma expressão para a força, agora vamos calcular o trabalho realizado por ela, e relacionar isso com a potência do reboque:

W = P Δ t

W = P Δ x v

Onde Δ x é a distância total a ser percorrida ( 600   m ) e v é a rapidez ( 2,5   m / s ). Agora, voltando à expressão que encontramos no passo anterior, o trabalho da força F é:

W = F Δ x

Então:

W = μ k m g cos ⁡ θ + m g sen ⁡ θ Δ x

Agora vamos igualar isso à expressão que escrevemos logo antes:

P Δ x v = μ k m g cos ⁡ θ + m g sen ⁡ θ Δ x

P = μ k m g cos ⁡ θ + m g sen ⁡ θ v

P = m g v μ k cos ⁡ θ + sen ⁡ θ

Passo 3

Mas essa é apenas a potência mínima necessária, o enunciado pediu para adicionarmos uma “margem de segurança” de 50 % de potência acima do mínimo.

Então:

P = 1 + 50 % P m í n

P = 1,5   P m í n

P = 1,5 m g v μ k cos ⁡ θ + sen ⁡ θ

Agora vamos substituir os valores numéricos, lembrando que temos que considerar a massa de 80 esquiadores de 75   k g cada:

P = 1,5 ( 80 ) 75 9,81 2,5 0,060 cos ⁡ 15 ° + sen ⁡ 15 °

P = 70   k W

Resposta

Encomendaria um motor com potência de 70   k W .

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