Enunciado

Um campo elétrico dado por E = 4,0î – 3,0(y2 + 2,0)ĵ atravessa um cubo gaussiano com 2,0 m de aresta, posicionado da forma mostrada na Fig. 23-5. (E é dado em Newtons por coulomb e x em metro.) Determine o fluxo elétrico (a) através da face superior; (b) através da face inferior; (c) através da face da esquerda; (d) através da face traseira. (e) Qual é o fluxo elétrico total através do cubo?

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade. Aqui deveremos calcular o fluxo elétrico através de cada face do cubo gaussiano dado.

Bem, temos um campo elétrico E   =   4,0 î   –   3,0 ( y 2   +   2,0 ) ĵ , que atravessa um cubo gaussiano com l = 2,0m de aresta.

Para calcular o fluxo através das faces do cubo, vamos usar a forma diferencial do fluxo elétrico:

Φ = ∫ E → ⋅ d a →

Passo 2

Para o item (a), temos que a face superior está situada no y   =   2,0 m , então o campo é:

E → = 4,0 î - 3,0 2,0 2 + 2 ĵ

= 4,0 î - 18 ĵ

Além disso,

d a → = d a ĵ

Pois a direção desse vetor é dada pela normal da superfície.

Agora, podemos calcular o campo, iremos utilizar apenas a componente do campo que influencia no fluxo, que é a da direção j :

Φ = ∫ E → ⋅ d a → = - 18 ∫ d a = - 18 * 2,0 2

Φ = - 72 N m 2 / C

Passo 3

Para a face inferior (b), é bem parecido com a face superior, porém, como y = 0, o campo é diferente e a normal aponta na direção oposta. Calculando o campo:

E → = 4,0 î - 3,0 0 2 + 2 ĵ

= 4,0 î - 6 ĵ

Sabendo que a normal é d a → = - d a ĵ :

Novamente iremos utilizar a parte do campo que influencia no fluxo:

Φ = ∫ E → ⋅ d a →

= - 6 ∫ - d a

= 6 ∙ 2,0 2

Φ = 24 N m 2 / C

Passo 4

Na letra c a intensidade elétrica (E) não é constante em toda a face esquerda do cubo porque essa face abrange muitos valores diferentes de y (que variam com E). Embora E não seja constante, E c o s ( θ ) é. Neste caso, E c o s ( θ ) é a componente x de E, ou simplesmente 4. Como 4 é uma constante, a integral torna-se 4 ( - A ) . O fluxo é negativo porque as linhas do campo elétrico estão entrando no cubo.

Assim a expressão para o fluxo do campo é

Φ = ∫ E → ⋅ d a →

= ∫ 4,0 î – 3,0 y 2 + 2,0 ĵ ⋅ - d a î

= 4 ∫ - d a

Φ = - 4 ∙ 2 2 = - 16 N m 2 / c

Passo 5

Agora, para a face traseira, item (d), o fluxo é 0 porque o vetor de área e as linhas de campo elétrico são perpendiculares, o que significa que θ = π/2. cos(π/2) = 0.

Encontramos o fluxo:

Φ = ∫ E → ∙ d A →

= ∫ E ∙ d A - k ^

= 0

Passo 6

Podemos ver que para calcular o fluxo da face direita, vamos ter exatamente a mesma expressão que a do item (c), porém com o sinal trocado da normal da superfície. Também, o fluxo na parte frontal, pelo mesmo motivo do item (d) é zero. Portanto Somando todos os fluxos, temos:

Φ = - 72 + 24 - 16 + 16 + 0 + 0 = - 48 N m 2 / C

Resposta

(a) Φ = - 72 N m 2 / C

(b) Φ = 24 N m 2 / C

(c) Φ = - 16 N m 2 / C

(d) Φ = 0

(e) Φ = - 48 N m 2 / C

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