Enunciado

Um capacitor esférico é composto de uma esfera interna que tem raio R 1 e carga + Q , e uma fina casca esférica concêntrica que tem raio R 2 , e carga - Q .

(a) Determine o campo elétrico e a densidade de energia como função de r , onde r é a distância ao centro da esfera, para 0 ≤ r < ∞ .

(b) Calcule a energia associada com o campo eletrostático em uma casca esférica entre os condutores que tem raio r , espessura d r e volume 4 π r 2 d r .

(c) Integre sua expressão para a Parte (b) para determinar a energia total e compare seu resultado com o obtido usando U = 1 2 Q V .

Passo 1

Acho que a primeira coisa a se fazer aqui é desenhar essas duas cascas esféricas concêntricas, não é verdade?

Então, para resolver esses problemas, vamos supor que exista uma carga + Q na esfera laranja e uma carga - Q na esfera de raio azul. Beleza?

Passo 2

L e t r a   A :

Cara... Podemos encontrar o campo elétrico em todas as regiões do espaço pela lei de Gauss, que nos fala que o fluxo de campo elétrico ϕ E em uma superfície fechada (Gaussiana que a gente deve escolher) é...

ϕ E = Q i n t ε 0

Mas aqui temos três regiões distintas, veja...

A Gaussiana que vamos escolher serão esferas de raio r , de modo que na 1 ° região...

0 ≤ r < R 1

Na segunda região...

R 1 ≤ r ≤ R 2

E na terceira uma Gaussiana...

R 2 < r

E a Gaussiana que vamos escolher vai ser assim...

Passo 3

De acordo com a Lei de Gauss...

ϕ E = Q i n t ε 0

Onde o fluxo ϕ E , pelo fato de ser o campo elétrico de uma esfera sempre na direção radial (perpendicular a Gaussiana também esférica), então o fluxo pode ser dado pelo produto...

E ⋅ A = Q i n t ε 0

Onde A é a área da Gaussiana: por ser uma Gaussiana esférica de raio r , sua área é 4 π r 2 ...

E 4 π r 2 = Q i n t ε 0   →

E = Q i n t 4 π ε 0   r 2

Agora quem é a carga interna Q i n t ?

Passo 4

Bem, é aqui que entrará a separação das regiões...

Porque em cada região, a Gaussiana vai ter uma carga interna diferente! Veja bem, supondo a Gaussiana na região 1 ° ...

Repare que não tem nenhuma carga interna a Gaussiana nessa região, então o campo elétrico para a 1 ° região será...

0 ≤ r < R 1                 →                       E = 0

Já na segunda região... Quando R 1 ≤ r ≤ R 2 , a carga que vai estar dentro da Gaussiana vai ser a carga na esfera laranja ( + Q ), então nesse trecho...

R 1 ≤ r ≤ R 2                   →               E = Q 4 π ε 0   r 2

Para a terceira, vamos ter duas cargas presente dentro da Gaussiana: Q i n t = + Q - Q = 0 , então na terceira região, o campo elétrico também será nulo...

R 2 ≤ r ≤ ∞                   →               E = 0

Passo 5

L e t r a   B :

Sabemos que a energia eletrostática numa região onde se tem campo elétrico é...

d U = u e ⋅   V o l

Onde u e é a densidade de energia eletrostática...

d U = 1 2 ε 0 E 2 ⋅ V o l

No nosso caso, o volume é dado por V o l = 4 π r 2 d r , então...

d U = 1 2 ε 0 E 2 4 π r 2 d r

Substituindo a expressão do campo elétrico dentro dos condutores...

d U = 1 2 ε 0 Q 4 π ε 0   r 2 2 4 π r 2 d r   →

d U = 1 2 ε 0 Q 2 16 π 2 ε 0 2   r 4 4 π r 2 d r   →

d U = Q 2 8 π ε 0   r 2 d r

Passo 6

L e t r a   C :

Integrando essa expressão de R 1 até R 2 para cobrirmos toda a região que se tem campo elétrico...

d U = Q 2 8 π ε 0   r 2 d r →

U = ∫ R 1 R 2 Q 2 8 π ε 0   r 2 d r   →

U = Q 2 8 π ε 0   ∫ R 1 R 2 1 r 2 d r   →

U = Q 2 8 π ε 0   - 1 r R 1 R 2   →

U = Q 2 8 π ε 0   - 1 R 2 + 1 R 1   →

U = Q 2 8 π ε 0   R 2 - R 1 R 1 R 2

E essa é finalmente a energia que está armazenada no interior do capacitor esférico, saca?

Resposta

Letra A:

0 ≤ r < R 1                 →                       E = 0

R 1 ≤ r ≤ R 2                   →               E = Q 4 π ε 0   r 2

R 2 ≤ r ≤ ∞                   →               E = 0

Letra B:

d U = Q 2 8 π ε 0   r 2 d r

Letra C:

U = Q 2 8 π ε 0   R 2 - R 1 R 1 R 2

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