Enunciado

APLICAÇÃO EM ENGENHARIA. Um goniômetro é um instrumento preciso para medida de ângulos. Um goniômetro capacitor está mostrado na Figura 24-40a. Cada placa do capacitor variável (Figura 24-40b) consiste em um semicírculo metálico plano que tem raio interno R 1 e raio externo R 2 . As placas compartilham um eixo de rotação em comum e a largura do espaçamento de ar separando as placas é d . Calcule a capacitância como função do ângulo θ e dos parâmetros dados.

Passo 1

Podemos calcular a capacitância desse treco aí sabendo que a capacitância entre duas placas paralelas e com uma área entre elas sendo A assim...

C = ε 0 A d   →

Só que repare que a área que está entre as placas depende de θ ...

Então bora encontrar essa área aí!

OBS: A área de um pedaço anel circular de ângulo θ é...

A a n e l = θ 2 π π R 2 2 - π R 1 2

Passo 2

Se a gente chamar esse pedacinho de área verde e vermelha de A 1 ...

A soma das três áreas vai ser a área do anel...

A + 2 A 1 = θ 2 π π R 2 2 - π R 1 2

Onde θ é um ângulo que varia de π 2 a π , saca?

Agora quem é A 1 ?

Passo 3

Repare que A área apenas do pedaço do anel vermelha é conhecida, isto é...

A v e r m e l h a = 1 4 π R 2 2 - π R 1 2

E essa área vermelha é a junção das áreas...

A v e r m e l h a = A 1 + A   →

A 1 + A = 1 4 π R 2 2 - π R 1 2

Assim, a área A 1 será igual...

A 1 = 1 4 π R 2 2 - π R 1 2 - A

Passo 4

Voltando para a equação do passo 2...

A + 2 A 1 = θ 2 π π R 2 2 - π R 1 2

E substituindo A 1 ...

A + 2 1 4 π R 2 2 - π R 1 2 - A = θ 2 π π R 2 2 - π R 1 2   →

A + 1 2 π R 2 2 - π R 1 2 - 2 A = θ 2 π π R 2 2 - π R 1 2   →

1 2 π R 2 2 - π R 1 2 - A = θ 2 π π R 2 2 - π R 1 2   →

1 2 π R 2 2 - π R 1 2 - θ 2 π π R 2 2 - π R 1 2 = A  

Podemos simplificar se quisermos...

A = 1 2 π R 2 2 - π R 1 2   1 - θ π

Então, a capacitância em função de θ vai ser...

C = ε 0 A d   →

C = ε 0 π 2 d R 2 2 - R 1 2   1 - θ π  

Resposta

C = ε 0 π 2 d R 2 2 - R 1 2   1 - θ π

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