Enunciado

No capítulo, foi derivada a expressão para o campo elétrico devido a um disco carregada uniformemente (no seu eixo). Em qualquer posição sobre o eixo, a magnitude do campo é E → = 2 π k σ 1 - 1 + R 2 z 2 - 1 / 2 . A grandes distâncias ( z ≫ R ), foi mostrado que esta equação se aproxima de E = k Q / z 2 . Muito próximo ao disco ( z ≪ R ), a intensidade do campo é aproximadamente igual a de um plano infinitos de carga ou E = 2 π k σ . Suponha que você tenha um disco de raio 2,5   c m com desndaide superficial de carga uniforme e igual a 3,6   μ C / m 2 . Utilize a expressão exata e a aproximação dadas acima para determina a intensidade do campo elétrico no eixo a distâncias de (a) 0,010   c m , (b) 0,040   c m e (c) 5,0   m . Compara os dois valores em cada caso e comente sobre a qualidade das aproximações nas suas regiões de validade.

Passo 1

Essa é uma questão puramente numérica. Veja que devemos apenas perceber qual fórmula devemos usar.

Passo 2

  1. Como 0,010   c m é muito menor do que 2,5   c m , segue que podemos usar a aproximação de plano infinito.
  2. Assim, temos

  • Expressão exata
  • E = 2 π 9 × 10 9 3,6 1 - 1 + 2,5 2 0,01 2 - 1 / 2 = 2,025 × 10 5   N / C

  • Expressão aproximada
  • E = 2 π k σ = 2 π 9 × 10 9 3,6 ≈ 2,03 × 10 5   N / C

    Veja que o erro cometido é ínfimo.

    Passo 3

  • Ainda temos 0,0040   c m muito menor do que 2,5   c m . Logo:
  • E = 2 π 9 × 10 9 3,6 1 - 1 + 2,5 2 0,01 2 - 1 / 2 = 2,001 × 10 5   N / C

    Note que o resultado ainda é muito próximo dos 2,03 × 10 5   N / C obtido para o plano infinito!

    Passo 4

  • Nesse caso 500   c m é muito maior do que 2,5   c m . Logo, devemos usar a expressão para uma carga pontual.
  • Expressão exata:
  • E = 2 π 9 × 10 9 3,6 1 - 1 + 2,5 2 500 2 2 ≈ 2,54 1   N / C

  • Expressão aproximada:

E = k Q z 2 = k π r 2 σ z 2 = 9 × 10 9 π 2,5 2 3,6 500 2 = 2,541   N / C

Novamente, os resultados são muito próximo (coincidem até a quarta casa decimal...)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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