Duas cargas puntiformes positivas q estão localizadas sobre o eixo O y sobre os ponto y = a e y = - a . Uma carga puntiforme negativa - Q está localizada sobre algum ponto do eixo O x .

  1. Faça um diagrama do corpo livre mostrando as forças que atuam sobre a carga - Q .
  2. Determine as componentes x e y da força resultante da ação das cargas q e - q sobre - Q . (Sua resposta deve envolver somente k ,   q ,   Q ,   a e a coordenada x da terceira carga).
  3. Qual é a força resultante sobre a carga - Q quando ela está na origem ( x   =   0 ) ?
  4. Faça um gráfico da componente x da força resultante sobre - Q em função de x para valores de x compreendidos entre -   4 a   e   + 4 a .

Passo 1

Fala galera! Tudo bem? Bora resolver essa questão de eletrostática? Para o item a), podemos usar a Lei de Coulomb para calcularmos as forças entre as cargas q nas posições indicadas e a carga - Q . Consideraremos o seguinte: F 1 é a força exercida pela carga q , em y = a . F 2 é a força exercida pela carga q , em y = - a . Agora repara: ambas são feitas sobre a carga - Q ! A distância entre cada carga q e a carga - Q pode ser determinada tirando uma relação de pitágoras:

r = a 2 + x 2 1 2

O ângulo formado entre a horizontal e a reta que passa entre as cargas analisadas é dado por:

c o s   θ = x ( a 2 + x ² ) 1 / 2

Essas relações ficam evidentes analisando a imagem abaixo. Podemos traças o diagrama de corpo livre justamente desenhando as forças que estão atuando sobre a carga - Q da seguinte maneira:

Passo 2

Para o item b), quando temos x > 0 , F 1   e   F 2 terão componentes horizontais no sentido - x ^ . Assim, teremos, para o eixo x :

F 3 x = - F 13 ⋅ c o s θ - F 23 ⋅ c o s θ

Nesse caso, consideramos F 3 como sendo a força resultante na força em - Q .

F 3 x = - 1 4 π ε 0 ⋅ q Q a 2 + x 2 ⋅ cos ⁡ θ - 1 4 π ε 0 ⋅ q Q a 2 + x 2 ⋅ c o s θ

Como vimos, temos que:

c o s θ = x a 2 + x 2 1 2

Substituindo na nossa relação, teremos:

F 3 x = - 1 4 π ε 0 ⋅ q Q a 2 + x 2 ⋅ x a 2 + x 2 1 2 - 1 4 π ε 0 ⋅ q Q a 2 + x 2 ⋅ x a 2 + x 2 1 2

Simplificando a expressão ficamos com:

F 3 x = - q Q 4 π ε 0 x a 2 + x 2 3 2 - q Q 4 π ε 0 x a 2 + x 2 3 2

F 3 x = - 2 ⋅ q Q 4 π ε 0 x a 2 + x 2 3 2

Com isso, teremos:

F 3 x = - q Q 2 π ε 0 x a 2 + x 2 3 2

Para a direção y ^ , temos a resultante como:

F 3 y = F 13 s e n θ - F 23 s e n θ

Dessa forma, temos:

F 3 y = 1 4 π ε 0 ⋅ q Q a 2 + x 2 s e n θ - 1 4 π ε 0 ⋅ q Q a 2 + x 2 s e n θ

Por essa expressão, se a gente olhar com cuidado, podemos ver que nem precisamos saber qual o valor de s e n   θ ! Repare que as duas quantidades que estamos diminuindo são de mesma intensidades. Ou seja, essa diferença será zero!

F 3 y = 0

Para x < 0 , F 1   e   F 2 terão, agora. componentes horizontais no sentido x ^ . Assim como fizemos antes, teremos, para o eixo x :

F 3 x = F 13 ⋅ c o s θ + F 23 ⋅ c o s θ

Esse resultado é análogo ao que obtivemos antes, considerando a direção - x ^ ! Podemos simplificar nosso trabalho apenas trocando o sinal da resultante anterior. Ou podemos realizar as contas pra verificar isso:

F 3 x = 1 4 π ε 0 ⋅ q Q a 2 + x 2 ⋅ c o s θ + 1 4 π ε 0 ⋅ q Q a 2 + x 2 ⋅ c o s θ

Nosso valor de c o s θ , relembrando:

c o s θ = x ( a 2 + x ² ) 1 / 2

Substituindo na expressão, fica:

F 3 x = 1 4 π ε 0 ⋅ q Q a 2 + x 2 ⋅ x ( a 2 + x ² ) 1 / 2 + 1 4 π ε 0 ⋅ q Q a 2 + x 2 ⋅ x ( a 2 + x ² ) 1 / 2

Simplificando um pouco, temos:

F 3 x = q Q 4 π ε 0 ⋅ x a 2 + x 2 3 2 + q Q 4 π ε 0 ⋅ x a 2 + x 2 3 2

Logo:

F 3 x = q Q 2 π ε 0 ⋅ x a 2 + x 2 3 2

Da mesma forma que, para y , teremos uma resultante nula, justamente por conta da simetria do problema, não alteramos a localização de - Q , nesse segundo momento, em y , mas apenas em x .

Assim, a força resultante na vertical será:

F 3 y = F 13 s e n θ - F 23 s e n θ

F 3 y = 0

Passo 3

Para o item c), a força resultante sobre a carga - Q quando ela dá quando ela está na origem será a soma das forças que cada carga q realiza nela. Dessa forma, teremos a seguinte situação:

Pra simplificar, a nossa carga - Q será nossa carga 3, como anteriormente. Assim, a força resultante sobre ela será:

F → 3 = F → 23 + F → 13

Mas repare que os sentidos das forças serão contrários e que elas estão sob a mesma distância. Além disso, as cargas terão mesmo módulo. Intuitivamente, havaliamos que a força resultante é nula! Mas, as contas podem confirmar essa intuição:

F 3 y = F 1 - F 2

Substituindo as informações:

F 3 y = 1 4 π ε 0 ⋅ q Q a 2 - 1 4 π ε 0 ⋅ q Q a 2

F 3 y = 0

Da mesma maneira que em x não haverá forças:

F 3 x = 0

Com isso:

F 3 = 0

Passo 4

Para o item d), o gráfico F x v e r s u s   x pode ser obtido avaliando a força resultando em x . Vamos analisar a expressão que obtemos no item a):

F 3 x = - q Q 2 π ε 0 x a 2 + x 2 3 2

Essa expressão relaciona justamente a força resultante sobre a partícula de caraga - Q com a sua posição em x relativa as outras duas cargas q . Se a gente reparar bem, podemos reescrever a expressão como sendo:

F 3 x = - C ⋅ x a 2 + x 2 3 2

O primeiro termo se torna justamente um constante, já que ele não depende do valor de x . Podemos obter o esboço do gráfico analisando as derivadas dessa função. Pra isso, aplicaremos a derivada com relação à x . Nesse caso, vamos precisar aplicar a regra do quociente das derivadas, que é:

f g ' = f ' g - f g ' g 2

Com isso, temos:

F 3 x ' = d x d x ⋅ a 2 + x 2 3 2 - x ⋅ d d x a 2 + x 2 3 2 ( a 2 + x 2 3 2 ) 2

Precisamos aplicar uma pequena regra da cadeia. Organizando os termos, ficamos com:

F 3 x ' = a 2 + x 2 3 2 - 3 2 x a 2 + x 2 1 2 ⋅ 2 x a 2 + x 2 3 = a 2 + x 2 3 2 - 3 x 2 a 2 + x 2 1 2   a 2 + x 2 3

Se a gente analisar com cuidado, podemos encontrar o máximo dessa função, avaliando onde essa derivada será nula. Com isso:

F 3 x ' = 0

Para que a derivada seja nula, o numerador dessa última relação que encontramos deve ser nulo:

a 2 + x 2 3 2 - 3 x 2 a 2 + x 2 1 2 = 0

Organizando o termo, temos:

a 2 + x 2 1 2 ⋅ a 2 + x 2 - 3 x 2 = 0

Para que essa expressão seja nula, temos dois casos possíveis. Ou teremos:

a 2 + x 2 1 2 = 0  

Que resulta em:

x 2 = - a 2

O que não apresenta solução real!

Para a segunda possibilidade, temos que:

a 2 + x 2 - 3 x 2 = 0

Que, simplificando, fica:

a 2 - 2 x 2 = 0

Ou seja:

2 x 2 = a 2

Simplificando a equação, sobra pra gente que:

x = ± a 2

Encontramos os pontos onde a função é máxima, ou seja, onde a força resultante sobre - Q é nula!! Seria o análogo a dizer que, nesse ponto, a partícula se encontra em equilíbrio. Agora, se tomarmos valores, de forma que:

x < a 2

Podemos ver que:

a 2 - 2 x 2 > 0

Sendo assim, valores menores que esse, resulta em uma derivada positiva!

Da mesma forma que:

x > a 2

Nos resulta em valores:

a 2 - 2 x 2 < 0

Ou seja, a derivada aqui é negativa!!!

Vamos organizar o que obtemos:

O esboço do gráfico ficaria assim:

Resposta

  1. F 3 = 1 4 π ε 0 - 2 q Q a ( a 2 + x ² ) 3 / 2 ( e m   x ) F 3 = 0   ( e m   y )  
  2. F x = 0
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