Enunciado

Uma carga q está uniformemente distribuída através de um volume esférico de raio R . (a) Fazendo V = 0 no infinito, mostre que o potencial a uma distância r do centro, onde r < R , é dado por

V = q e R 2 - r 2 8 π ϵ 0 R 3

(Sugestão: Ver o Exemplo 25-7) (b) Por que este resultado difere daquele do item (a) do Problema 11? (c) Qual é a diferença de potencial entre um ponto da superfície e o centro da esfera? (d) Por que esse resultado não difere daquele do item (h) do Problema 11?

Passo 1

(a) Fora da distribuição de cargas a magnitude do campo elétrico é

E = q 4 π ϵ 0 r 2

e o potencial é

V = q 4 π ϵ 0 r

onde r é a distância a partir do centro da distribuição de cargas. Dentro da distribuição, usamos uma superfície Gaussiana esférica de raio r concêntrica com a distribuição de cargas. O campo é normal à superfície e sua magnitude e uniforme sobre ela, de modo que o fluxo através da superfície é 4 π r 2 E . A carga dentro da Gaussiana é

q r 3 R 3

Com isto, a lei de Gauss fornece-nos

4 π r 2 E = q r 3 R 3

que, simplificando, mostra ser o campo fora da Gaussiana dado por

E = q r 4 π R 3

Se chamarmos de V s o potencial sobre a superfície da distribuição de cargas, então o potencial num ponto interno localizado a uma distância r do centro será

V = V s - ∫ R r E   d r = V s - q 4 π ϵ 0 R 3 ∫ R r r   d r

V = V s - q r 2 8 π ϵ 0 R 3 + q 8 π ϵ 0 R

O valor de V s pode ser encontrado colocando-se r = R na expressão do potencial em pontos fora da distribuição de cargas, o que fornece-nos

V s = q 4 π ϵ 0 R

Portanto,

V = q 8 π ϵ 0 R 3 3 R 2 - r 2

Passo 2

(b) No Problema 11 o potencial elétrico foi tomado como sendo zero no centro da esfera enquanto que aqui, o zero esta no infinito. De acordo com a expressão derivada na parte (1), o potencial no centro da esfera é

V c = 3 q 8 π ϵ 0 R 3

Portanto,

V - V c   =   - q r 2 8 π ϵ 0 R 3

que é o resultado encontrado no Problema 11.

Passo 3

A diferença de potencial é

Δ V = V s - V c = - q 8 π ϵ 0 R

Este valor o mesmo dado pela expressão obtida no Problema 11, como não poderia deixar de ser.

Passo 4

(d) Moral da historia toda: apenas as diferenças de potencial tem significado físico, não importando qual o valor do potencial num só ponto. Analogamente ao caso gravitacional, mudar-se o ponto de referencia de lugar não altera as diferenças de potencial.

Resposta

  1. V = q 8 π ϵ 0 R 3 3 R 2 - r 2
  2. V - V c   =   - q r 2 8 π ϵ 0 R 3
  3. Δ V = - q 8 π ϵ 0 R

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