Enunciado

Uma casca esférica espessa de carga Q e densidade volumétrica de carga uniforme ρ está limitada pelos raios r , e r 2 , onde r 2 > r . Com V = 0 no infinito, determine o potencial elétrico V em função da distância r ao centro da distribuição, considerando as regiões (a) r > r 2 (b) r 2 > r > r 1 e (c) r < r 1 (d) Estas soluções concordam em r = r 2 e r = r 1 ? (Sugestão: Ver o Exemplo 25-7).

Passo 1

(a) Para r > r 2 o campo é como o de uma carga puntiforme e o potencial é

V = 1 4 π ϵ 0 Q r

onde o zero do potencial foi tomado no infinito.

Passo 2

(b) Para determinar o potencial no intervalo r 1 < r < r 2 usamos a lei de Gauss para calcular o campo elétrico, integrando-o posteriormente ao longo de uma trajetória radial, de r 2 até r . A melhor Gaussiana e uma superfície esférica concêntrica com a casca em questão. O campo é radial, normal a superfície, com magnitude uniforme sobre a superfície, de modo que o fluxo através da superfície é

Φ = 4 π r 2 E

O volume da casca é 4 π r 2 3 - r 1 3 / 3 , de modo que e a densidade de carga é

ρ = 3 Q 4 π r 2 3 - r 1 3

Assim, a carga englobada pela Gaussiana de raio r é

q = 4 π 3 ρ r 2 3 - r 1 3

A lei de Gauss fornece-nos

4 π r 2 E = Q r 3 - r 1 3 r 2 3 - r 1 3

donde obtemos a magnitude do campo elétrico:

E = Q 4 π r 2 r 3 - r 1 3 r 2 3 - r 1 3

Passo 3

Sendo V s o potencial elétrico na superfície externa da casca ( r = r 2 ) , então o potencial a uma distância r do centro e dado por

V = V s - ∫ r 2 r E   d r

V = V s - Q 4 π ϵ 0 1 r 2 3 - r 1 3   r 2 2 - r 2 2 2 + r 1 3 r + r 1 3 r 2

O valor da constante V s na superfície externa e encontrado substituindo-se r = r 2 na expressão para o potencial que foi determinada no item (a) acima, ou seja, V s = Q 4 π ϵ 0 r 2 . Substituindo-se este valor na expressão acima e simplificando-a, obtemos

V = Q 4 π ϵ 0 1 r 2 3 - r 1 3   - r 2 2 + 3 r 2 2 2 + r 1 3 r

Como ρ = 3 Q 4 π r 2 3   -   r 1 3 , o potencial pode ser escrito de uma maneira mais simples e elegante como

V = ρ 3 ϵ 0 - r 2 2 + 3 r 2 2 2 + r 1 3 r

Passo 4

(c) O campo elétrico anula-se na cavidade, de modo que o potencial será sempre o mesmo em qualquer ponto da cavidade, tendo o mesmo valor que o potencial de um ponto qualquer sobre a superfície interna da casca. Escolhendo-se r = r 1 no resultado do item (b) e simplificando, encontramos

V = ρ 2 ϵ 0 r 2 2 - r 1 2

(d) As soluções concordam para r = r 1 e para r = r 2 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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