Enunciado

Uma esfera metálica com raio r a =   1,2   c m está apoiada sobre uma base isolada no centro de uma casca esférica metálica com raio externo r b = 9,6   c m . Existe uma carga +q na esfera interna e uma carga -q na esfera externa. O módulo de q é escolhido para produzir uma diferença de potencial entre as esferas igual a 500V, mantendo a esfera interna com um potencial mais elevado.

a)Use V a b = q 4 π ε o 1 r a - 1 r b para calcular o valor de q.

b)Com base nas expressões : r < r a V = k q 1 r a - 1 r b , r a < r < r b V = k q 1 r - 1 r b e r > r b V = 0 , faça um desenho indicando as superfícies equipotenciais que correspondem a 500, 400, 300, 200, 100 e 0 V.

c)Sobre o seu desenho, mostre as linhas de campo elétrico. As linhas de campo elétrico e as superfícies equipotenciais são mutuamente perpendiculares? A superfícies equipotenciais ficam mais próximas entre si quando o módulo de E é mais elevado?

Passo 1

letra a)

Precisamos calcular q a partir da expressão:

V a b = q 4 π ε o 1 r a - 1 r b

Isolando o q:

q = V a b 1 4 π ε o 1 r a - 1 r b

q = 500 8,99 ⋅ 10 9 1 0,012 = 1 0,096

q = 7,62 ⋅ 10 - 10   C

Passo 2

letra b)

Para fazermos o desenho das superfícies equipotenciais, precisamos calcular as posições onde temos os potenciais dados.

Vamos pegar a relação:

V a b = q 4 π ε o 1 r a - 1 r b

Como na superfície da esfera mais externa o potencial é nulo: V = 0   para r = 9,6   c m

V = q 4 π ε o 1 r - 1 r b

Isolando o r temos:

1 r = k V q + 1 r b

1 r = 8,99 ⋅ 10 9 V 7,62 ⋅ 10 - 10 + 1 0,096

Passo 3

Agora precisamos substituir os potenciais para achar as distâncias:

i )   500   V :

1 r = 8,99 ⋅ 10 9 500 7,62 ⋅ 10 - 10 + 1 0,096

r = 1,2   c m

i i )   400   V :

1 r = 8,99 ⋅ 10 9 400 7,62 ⋅ 10 - 10 + 1 0,096

r = 1,45   c m

i i i )   300   V :

1 r = 8,99 ⋅ 10 9 300 7,62 ⋅ 10 - 10 + 1 0,096

r = 1,85   c m

i v )   200   V :

1 r = 8,99 ⋅ 10 9 200 7,62 ⋅ 10 - 10 + 1 0,096

r = 2,53   c m

v )   100   V :

1 r = 8,99 ⋅ 10 9 100 7,62 ⋅ 10 - 10 + 1 0,096

r = 4   c m

v i )   0   V :

1 r = 8,99 ⋅ 10 9 ⋅ 0 7,62 ⋅ 10 - 10 + 1 0,096

r = 9,6   c m

Passo 4

Desenhando as superfícies equipotenciais com as distâncias calculadas no passo anterior:

Passo 5

letra c)

O campo elétrico tem direção radial e como a carga é positiva ele aponta para fora. Então temos:

Passo 6

As superfícies equipotenciais e as linhas de campo elétrico são perpendiculares.

Além disso, as superfícies equipotenciais estão mais juntas próximo do centro, onde o campo elétrico é mais intenso.

Resposta

letra a) q = 7,62 ⋅ 10 - 10   C

letra b)

letra c) São perpendiculares. Sim, ficam.

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