Enunciado

Uma casa é construída no alto de urna colina, perto de uma encosta com urna inclinação θ   =   45 °   (Fig. 6-55). Um estudo de engenharia indica que o ângulo do declive deve ser reduzido porque as camadas superiores do solo podem deslizar em relação às camadas inferiores. Se o coeficiente de atrito estático entre essas camadas é 0,5 , qual é o menor ângulo de que a inclinação atual deve ser reduzida para evitar deslizamentos?

Passo 1

Olá, querido! Tudo bem?

Você pode pensar que essa parte do volume de terra que precisa ser retirado (representado por ϕ ) é analago a um bloco sobre uma rampa. A rampa é a parte do terreno que vai ficar. Percebe que se a inclinação inicial é θ , a inclinação dessa “rampa” que tem que ficar é θ - ϕ

Aí a gente tem algo assim:

Então, uma parte desse volume de terra pode deslizar em relação a parte abaixo. Ou seja, a partir da nossa interpretação, o bloco pode deslizar pela rampa. Aí precisamos achar o valor de ϕ para que isso não aconteça.

E a situação limite de deslizamento é quando a força de atrito estático é máxima, e vale f s . m á x   = μ s F n . Então essa situação limite vai nos dar o mínimo valor de ϕ que ele pede.

Bora usar a segunda lei de Newton e descobrir o valor desse cara!

Passo 2

De acordo com a 2° Lei de Newton no eixo x para o bloco, vamos ter

∑ F x = m a x

Como estamos em equilíbrio, a x = 0 , então:

∑ F x = 0

Aí nessa direção, a gente temos f s . m á x = F n μ s , no sentido negativo se opondo a tendência de movimento. E temos também a componente x de F g que é dada por F g x = m g s e n θ - ϕ que aponta para x positivo.

O somatório de forças fica

- F n μ s   + m g s e n θ - ϕ = 0

F n μ s = m g s e n θ - ϕ     i

Passo 3

Agora a segunda lei de Newton para esse mesmo bloco para a direção y , sabendo que a y = 0 :

∑ F y = m a y → ∑ F y = 0

Nessa direção temos a força normal para a parte positiva e a componente y de F g para baixo. O somatório fica:

F n - m g c o s θ - ϕ = 0

F n = m g c o s θ - ϕ   i i

Passo 4

Dividindo a equação i pela i i :

F n μ s F n = m g s e n θ - ϕ m g c o s θ - ϕ

μ s = tan ⁡ ( θ - ϕ )

Como μ s = 0,5   e θ = 45 ° :

0,5 = tan ⁡ 45 ° - ϕ

Jogando essa tangente para o lado esquerdo como arctangente:

arctan ⁡ 0,5 = 45 ° - ϕ

ϕ = 45 ° - arctan ⁡ 0,5

ϕ ≈ 45 ° - 27 °  

ϕ ≅ 20 °

Resposta

ϕ ≅ 20 °

Tranquilo galera??? Bora resolver mais questões então!!!!!!

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