Enunciado

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Uma casca cilíndrica isolante, com raio R e comprimento L ( como o tubo de papelão de um rolo de papel higiênico), possui uma carga Q uniformemente distribuída sobre sua superfície. (a) Calcule o potencial elétrico em todos os pontos ao longo do eixo do cilindro. Faça a origem do sistema de coordenadas coincidir com o centro do tubo cilíndrico e considere igual a zero o potencial no infinito. (b) Mostre que L ≪ R , o potência da parte (a) se reduz ao potencial de um anel carregado com raio R (veja o exemplo 23.11 na seção 23.3). (c) Use o resultado da parte (a) para determinar o campo elétrico em todos os pontos ao longo do eixo do cilindro .

Passo 1

letra a)

o potencial elétrico para uma distribuição infinitesimal cilíndrica. Essa distribuição tem coordenada z ao longo do eixo x .

d V = k d Q x - z 2 + R 2

Podemos escrever a distribuição de carga em função da carga e do comprimento:

d Q = Q L d z

Temos então:

d V = k Q L d z x - z 2 + R 2

Agora integramos ao longo !!!

Passo 2

V = ∫ - L / 2 L / 2 k Q L d z x - z 2 + R 2

V = k Q L ∫ - L / 2 L / 2 d z x - z 2 + R 2

Passo 3

Para resolver a integral acima precisamos lembrar que esse tipo de integral é tabelada.

Temos que:

∫ a b d u u 2 + v 2 = l n u 2 + v 2 + u a b

Na nossa integral do potencial:

u = x - z

v = R

Passo 4

SUbstituindo o resultado da integral:

V = k Q L ∫ - L / 2 L / 2 d z x - z 2 + R 2 = k Q L l n x - z 2 + R 2 + x - z - L / 2 L / 2

V = k Q L l n L / 2 - x 2 + R 2   +   L / 2 - x L / 2 + x 2 + R 2   -   L / 2 + x

Passo 5

letra b)

Precisamos agora estudar o potencial quando L ≪ R .

Como L é muito pequeno em relação ao R podemos desprezar os termos ao quadrado de L .

V = k Q L l n L / 2 - x 2 + R 2   +   L / 2 - x L / 2 + x 2 + R 2   -   L / 2 + x ≈ k Q L l n x 2 - L x + R 2   +   L / 2 - x x 2 + L x + R 2   -   L / 2 + x

Agora vamos dividir todo mundo por x 2 + R 2

V = k Q L l n 1 - L x / x 2 + R 2   +   L / 2 - x / x 2 + R 2 1 + L x / x 2 + R 2   -   L / 2 + x / x 2 + R 2

Expandindo o termo da raiz:

V ≈ k Q L l n 1 - L x / 2 x 2 + R 2   +   L / 2 - x / x 2 + R 2 1 + L x / 2 x 2 + R 2 -   L / 2 + x / x 2 + R 2

V ≈ k Q L l n 1 +   L / 2 x 2 + R 2 1 -     L / 2 x 2 + R 2

Expandindo o l n :

V ≈ k Q L L 2 x 2 + R 2 - - L 2 x 2 + R 2

V = k Q L 2 L 2 x 2 + R 2

V = k Q x 2 + R 2

que é o potencial de um anel com raio R .

Passo 6

letra c)

Como o potencial da letra a só depende de x , o campo elétrico só terá componente no eixo do x .

E x = - ∂ V ∂ x

E x = - ∂ ∂ x k Q L l n L / 2 - x 2 + R 2   +   L / 2 - x L / 2 + x 2 + R 2   -   L / 2 + x

E x = - k Q L ∂ ∂ x l n L / 2 - x 2 + R 2   +   L / 2 - x L / 2 + x 2 + R 2   -   L / 2 + x

E x = - k Q L ∂ ∂ x l n L - 2 x 2 + 4 R 2   +   L - 2 x L + 2 x 2 + 4 R 2   -   L + 2 x

E x = - k Q L L + 2 x 2 + 4 R 2   -   L + 2 x L - 2 x 2 + 4 R 2   +   L - 2 x - 1 ∂ ∂ x L - 2 x 2 + 4 R 2   +   L - 2 x L + 2 x 2 + 4 R 2   -   L + 2 x

E x = - k Q L L + 2 x 2 + 4 R 2   -   L + 2 x L - 2 x 2 + 4 R 2   +   L - 2 x ( L - 2 x ) L - 2 x 2 + 4 R 2 - 1 / 2 + 1 ⋅ L + 2 x 2 + 4 R 2   -   L + 2 x - ( L + 2 x ) L + 2 x 2 + R 2 - 1 / 2 - 1 L - 2 x 2 + 4 R 2   +   L - 2 x L + 2 x 2 + 4 R 2   -   L + 2 x 2

E x = - k Q L   ( L - 2 x ) L - 2 x 2 + 4 R 2 - 1 / 2 + 1 ⋅ L + 2 x 2 + 4 R 2   -   L + 2 x - ( L + 2 x ) L + 2 x 2 + R 2 - 1 / 2 - 1 L - 2 x 2 + 4 R 2   +   L - 2 x L - 2 x 2 + 4 R 2   +   L - 2 x L + 2 x 2 + 4 R 2   -   L + 2 x

Passo 7

Fazendo as distributivas e simplificando os termos, encontramos:

E x = 2 k Q L - 2 x 2 + 4 R 2   -   L + 2 x 2 + 4 R 2 L - 2 x 2 + 4 R 2     L + 2 x 2 + 4 R 2

Resposta

letra a) V = k Q L l n L / 2 - x 2 + R 2   +   L / 2 - x L / 2 + x 2 + R 2   -   L / 2 + x

letra c) E x = 2 k Q L - 2 x 2 + 4 R 2   -   L + 2 x 2 + 4 R 2 L - 2 x 2 + 4 R 2     L + 2 x 2 + 4 R 2

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