Enunciado

Uma casca esférica uniforme de 8,40 kg e 50,0 cm de diâmetro possui quatro pequenas massas de 2,0 kg presas à superfície externa e igualmente espaçadas entre si. Esse sistema está girando em torno de um eixo que passa pelo centro da esfera e por duas das pequenas massas (Figura 10.42). Qual torque de atrito é necessário para reduzir a velocidade escalar angular de 75,0 rpm para 50 rpm em 30,0 s?

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... o enunciado nos dá a seguinte casca esférica uniforme de 8,40   k g e 50,0   c m   de diâmetro que possui quatro pequenas massas de 2,0   k g presas à superfície externa e igualmente espaçadas entre si:

Como podemos ver na figura acima, esse sistema está girando em torno de um eixo que passa pelo centro da esfera e por duas das pequenas massas.

Queremos calcular o torque de atrito necessário para reduzir a velocidade escalar angular de 75,0   r p m para 50   r p m em 30,0   s .

Para isso, temos que saber que o torque τ é dado pelo produto do momento de inércia I pela aceleração angular α :

τ = I α

E que o momento de inércia para o sistema descrito é dado por:

I = 2 3 M R 2 + 2 m R 2

Onde M é a massa da casca esférica, m é a massa das pequenas massas e R é o raio da casca.

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Nós temos que:

I = 2 3 M R 2 + 2 m R 2

Com: M = 8,40 k g m = 2 k g e como temos um diâmetro de 50 c m , então R = d 2 = 25 c m .

E precisamos converter o raio para metros, dessa forma: 25 c m = 0,25 m

I = 2 3 8,40 k g ⋅ 0,25 m 2 + 2 ⋅ 2 k g ⋅ 0,25 m 2 = 0,600 k g ⋅ m 2

Passo 3

Temos os seguintes dados:

D a d o s :   ω 0 = 75 r p m = 7,854 r a d / s ω = 50 r p m = 5,236 r a d / s t = 30 s

E vamos utilizar a equação:

ω = ω 0 + α t

α = ω - ω 0 t = 5,236 r a d / s - 7,854 r a d / s 30 s = - 0,08726 r a d / s 2

Passo 4

Certo!

Agora vamos aplicar a equação do torque:

τ = I α

τ = 0,600 k g ⋅ m 2 ⋅ ( - 0,08726 r a d / s 2 )

τ = - 0,0524 N ⋅ m

O torque é negativo porque sua direção é oposta à direção de rotação, que deve ser o caso da velocidade diminuir.

Resposta

τ = - 0,0524 N ⋅ m

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