Enunciado

Volantes são grandes rodas maciças usadas para armazenar energia. Elas podem ser postas a girar lentamente, e depois a energia da roda pode ser liberada rapidamente para a realização de uma tarefa que demande alta potência. Um volante industrial com 1,5 m de diâmetro possui massa de 250   k g . Sua velocidade angular máxima é de 1.200   r p m .

a. Um motor faz o volante girar exercendo sobre ele um torque constante de 50   N   m . Quanto tempo decorre até que o volante atinja a velocidade máxima?

b. Que valor de energia estará, então, armazenada no volante?

c. O volante é desconectado do motor e conectado a uma máquina à qual deve fornecer energia. Metade da energia armazenada no volante é fornecida em 2,0   s . Qual é a potência média fornecida à máquina?

d. Que valor de torque o volante exerce sobre a máquina?

Passo 1

O volante é um corpo rígido que gira em torno de seu eixo central.

Vamos visualizar melhor:

Passo 2

  1. O raio do volante é R = 0,75   m e sua massa é M = 250   k g . O momento de inércia sobre o eixo de rotação é o de um disco:
  2. I = 1 2 M R 2

    Isso implica que o momento de inercia é então:

    I = 1 2 250   k g ⋅ 0,75   m 2 = 70,31   k g ⋅ m 2

    A aceleração angular é calculada da seguinte forma:

    τ t o t a l = I α

    Isolando α :

    ⇒ α = τ t o t a l I = 50   N ⋅ m 70,31   k g ⋅ m 2 = 0,711   r a d / s 2

    O uso da equação cinemática para velocidade angular fornece:

    ω 1 = ω 0 + α t 1 - t 0

    ⇒ ω 1 = 1200   r p m = 40   π   r a d / s = 0   r a d / s + 0,711   r a d / s 2 ( t 1 - 0 s )

    Isolando t 1 :

    t 1 = 177   s

    Passo 3

  3. A energia armazenada no volante é energia cinética rotacional:
  4. K r o t = 1 2 I ω 1 2

    ⇒ K r o t = 1 2 70,31   k g ⋅ m 2 40 π ⋅ r a d / s 2 = 5,55 × 10 5 J

    A energia armazenada é de 5,6   ×   105   J .

    Passo 4

  5. Agora para descobrir a potência média fornecida à máquina fazemos:
  6. P o t ê n c i a   m é d i a   f o r n e c i d a = e n e r g i a   f o r n e c i d a i n t e r v a l o   d e   t e m p o

    Isso implica que:

    P o t ê n c i a   m é d i a   f o r n e c i d a = 5,55 × 10 5 J 2   s = 1,39 × 10 5   W = 139   k W

    Passo 5

  7. E para encontrarmos o valor de torque o volante exerce sobre a máquina fazemos:

τ = I α

⇒ τ = I ∆ ω ∆ t = I ω e n e r g i a   t o t a l - ω m e i a   e n e r g i a ∆ t .

Da parte (a) sabemos que:

ω e n e r g i a   t o t a l = ω 1 = 40 π   r a d / s

ω m e i a   e n e r g i a   pode ser obtido como:

1 2 I ω m e i a   e n e r g i a 2 = 1 2 K r o t

ω m e i a   e n e r g i a = K r o t I

Substituindo por números que já conhecemos, temos que:

ω m e i a   e n e r g i a = 5,55 × 10 5 J 70,31   k g ⋅ m 2 = 88,85   r a d / s

Passo 3

Agora podemos voltar a equação:

τ = I ω e n e r g i a   t o t a l - ω m e i a   e n e r g i a ∆ t

E substituir os valores, ficamos com:

τ = 70,31   k g ⋅ m 2 40   π   r a d / s - 88,85   r a d / s 2   s = 1,30   k N ⋅ m

Resposta

  1. t 1 = 177   s
  2. 5,6   ×   105   J
  3. 139   k W
  4. 1,30   k N ⋅ m
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