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Exercícios Resolvidos de Moysés - Vol. 3

Enunciado

Física - Moysés - Vol. 3 - 3.Problemas - 15

Uma casca uniformemente carregada com densidade volumétrica   ρ contém em seu interior uma cavidade esférica. Mostre que o campo no interior da cavidade é uniforme e é dado por

E → = ρ d → 3 ϵ 0     ,

onde d → é o vetor que liga os centros das duas esferas (fig.).

Sugestão: Use o princípio da superposição.

Passo 1

Se liga! Podemos começar calculando o campo em toda esfera desprezando a cavidade.

Para isso usaremos uma superfície superfície gaussiana com simetria esférica. Veja a figura.

Só precisamos aplica a lei de Gauss

ϕ s =   ∮ E d A = E A = q i n t ϵ 0

A área é a área da esfera da superfície gaussiana

A = 4 π r 2

A carga é a carga localizada dentro da esfera gaussiana

q i n t = ρ 4 3 π r 3

Isso nos da um campo

E = q i n t ϵ 0 A =   ρ 4 3 π r 3 ϵ 0 4 π r 2 = ρ r 3 ϵ 0

Como o campo aponta para fora na direção radial

E → = ρ   r → 3 ϵ 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos calcular o campo dentro da cavidade, beleza?!

Vamos considerar que a casca está carregada negativamente de modo que somando-a a esfera, a carga se anulará.

O campo produzido pela cavidade, de forma análoga ao que acabamos de fazer para a esfera será

E → = ρ     a → 3 ϵ 0

Se repararmos na imagem, podemos ver que

a → = r → - d →

Passo 3

Agora só precisamos fazer a soma dos campos

E R → = ρ     r → 3 ϵ 0 - ρ     a → 3 ϵ 0 = ρ 3 ϵ 0 r → - r → - d → = ρ     d → 3 ϵ 0

Sendo assim, podemos perceber que o campo é uniforme e depende apenas do vetor d → .

Resposta

E R → = ρ     d → 3 ϵ 0

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