Enunciado

Uma casca uniformemente carregada com densidade volumétrica   ρ contém em seu interior uma cavidade esférica. Mostre que o campo no interior da cavidade é uniforme e é dado por

E → = ρ d → 3 ϵ 0     ,

onde d → é o vetor que liga os centros das duas esferas (fig.).

Sugestão: Use o princípio da superposição.

Passo 1

Se liga! Podemos começar calculando o campo em toda esfera desprezando a cavidade.

Para isso usaremos uma superfície superfície gaussiana com simetria esférica. Veja a figura.

Só precisamos aplica a lei de Gauss

ϕ s =   ∮ E d A = E A = q i n t ϵ 0

A área é a área da esfera da superfície gaussiana

A = 4 π r 2

A carga é a carga localizada dentro da esfera gaussiana

q i n t = ρ 4 3 π r 3

Isso nos da um campo

E = q i n t ϵ 0 A =   ρ 4 3 π r 3 ϵ 0 4 π r 2 = ρ r 3 ϵ 0

Como o campo aponta para fora na direção radial

E → = ρ   r → 3 ϵ 0

Passo 2

Agora vamos calcular o campo dentro da cavidade, beleza?!

Vamos considerar que a casca está carregada negativamente de modo que somando-a a esfera, a carga se anulará.

O campo produzido pela cavidade, de forma análoga ao que acabamos de fazer para a esfera será

E → = ρ     a → 3 ϵ 0

Se repararmos na imagem, podemos ver que

a → = r → - d →

Passo 3

Agora só precisamos fazer a soma dos campos

E R → = ρ     r → 3 ϵ 0 - ρ     a → 3 ϵ 0 = ρ 3 ϵ 0 r → - r → - d → = ρ     d → 3 ϵ 0

Sendo assim, podemos perceber que o campo é uniforme e depende apenas do vetor d → .

Resposta

E R → = ρ     d → 3 ϵ 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

49 . Uma esfera oca isolante possui raio interno a e raio externo b . No interior do material isolante, a densidade volumétrica de carga é dada por ρ r = α / r , em que α é uma constante positiva. ( a
61 . Uma distribuição de cargas, de raio R = 6,00m m , possui densidade volumétrica de carga ρ não uniforme. A Figura P 22.61 mostra ρ em função da distância r do centro da distribuição de cargas. Cal
Uma esfera de raio R possui uma carga Q . A intensidade de campo elétrico a uma distância rR é E i . Qual é a razão E f / E i entre as intensidades de campo final e inicial se (a) Q diminui pela metad
Um excesso de 55,3 milhões de elétrons encontra-se dentro de uma superfície fechada. Qual é o fluxo elétrico resultante através da superfície?
As cargas q 1 = - 4 Q e q 2 = + 2 Q estão localizadas em x = - a e x = + a , respectivamente. Qual é o fluxo elétrico resultante através de uma esfera de raio2 a centrada: na origem do sistema de coor