Enunciado

Para o caso especial de uma partícula se movendo com velocidade u ao longo do eixo y no referencial S, mostre que seu momento e energia no referencial S ′ estão relacionados ao seu momento e energia em S pelas equações de transformação. Compare essas equações com as equações de transformação de Lorentz para x ′, y ′, z ′ e t ′. Observe que as quantidades px, py, pz e E / c se transformam da mesma maneira que x, y, z e ct.

Passo 1

Opaa, fala ae!! Beleza? Tamo junto nessa questão hein. Bora lá!

Podemos usar as expressões para p → e E em S junto com as relações que desejamos verificar e as equações de transformação inversa de velocidade para estabelecer a condição:

u ' 2 = u x ' 2 + u y ' 2 + u z ' 2 = v 2 + u 2 γ 2

E, em seguida, usar este resultado para verificar as expressões dadas para p x ' ,     p y ' ,     p z ' e E ' / C . Vamos ver com calma.

Passo 2

Em qualquer referencial inercial, o momento e a energia são dados por:

p → = m u → 1 - u 2 c 2

E:

E = m c 2 1 - u 2 c 2

Onde u → é a velocidade da partícula e u é o módulo de sua velocidade. As componentes de p → em S são:

p x = m u x 1 - u 2 c 2

p y = m u y 1 - u 2 c 2

p z = m u z 1 - u 2 c 2

Como u x = u z = 0 e u y = u :

p x = p z = 0

E:

p y = m u 1 - u 2 c 2

Substituindo os zeros em p x e p z nas relações dadas no enunciado:

p x ' = γ 0 - v E c 2 = - γ v E c 2

p y ' = p y

p z ' = p z = 0

E:

E ' c = γ E c - 0 = γ E c

Passo 3

Em S ' , as componentes do momento são:

p ' x = m u ' x 1 - u ' 2 c 2

p ' y = m u ' y 1 - u ' 2 c 2

p ' z = m u ' z 1 - u ' 2 c 2

Onde, pelas transformações inversas, temos:

u x ' = u x - v 1 - v u x c 2

u y ' = u y 1 - v u y c 2

u z ' = u z 1 - v u z c 2

Substituindo u x = u z = 0 e u y = u :

u x ' = 0 - v 1 - v ( 0 ) c 2 = - v

u y ' = u 1 - v u c 2 = γ u

u z ' = 0 1 - v ( 0 ) c 2 = 0

Assim, o módulo da velocidade em S ' :

u ' 2 = u x ’ 2 + u y ' 2 + u z ' 2

u ' 2 = - v 2 + u γ 2 + 0 2

u ' 2 = v 2 + u 2 γ 2

Passo 4

Então, primeiro, vamos verificar que p z ' = p z = 0 :

p z ' = m 0 1 - u ' 2 c 2 = p z = 0

Agora, que p y ' = p y :

p y ' = m u y ' 1 - u ' 2 c 2 = m u γ 1 - v 2 c 2 - u 2 γ 2 c 2

Vamos multiplicar em cima e embaixo por 1 - u 2 c 2 :

p y ' = m u 1 - u 2 c 2 1 - u 2 c 2 γ 1 - v 2 c 2 - u 2 γ 2 c 2

Agora, vamos passar γ para dentro da raiz:

p y ' = m u 1 - u 2 c 2 1 - u 2 c 2 γ 2 1 - v 2 c 2 - u 2 γ 2 c 2

Substituindo γ 2 = 1 1 - v 2 c 2 :

p y ' = m u 1 - u 2 c 2 1 - u 2 c 2 1 1 - v 2 c 2 1 - v 2 c 2 - u 2 1 1 - v 2 c 2 c 2

p y ' = m u 1 - u 2 c 2 1 - u 2 c 2 1 - v 2 c 2 1 - v 2 c 2 - u 2 c 2 1 - v 2 c 2

Como vimos p y =   m u 1 - u 2 c 2 :

p y ' = p y 1 - u 2 c 2 1 - v 2 c 2 1 - v 2 c 2 - u 2 c 2 1 - v 2 c 2

Fazendo a multiplicação em cima:

p y ' = p y 1 - v 2 c 2 - u 2 c 2 1 - v 2 c 2 1 - v 2 c 2 - u 2 c 2 1 - v 2 c 2

Opaaa, podemos simplificar essa raiz toda e:

p y ' = p y

Passo 5

Agora, vamos verificar que p x ' = γ p x - v E c 2 :

p x ' = m u x ' 1 - u ' 2 c 2 = - m v 1 - v 2 c 2 - u 2 γ 2 c 2

Mutiplicando por γ c 2 γ c 2 1 - u 2 c 2 1 - u 2 c 2 :

p x ' = - m v 1 - v 2 c 2 - u 2 γ 2 c 2 γ c 2 γ c 2 1 - u 2 c 2 1 - u 2 c 2

Arrumando isso aí:

p x ' = - γ v c 2 m c 2 1 - u 2 c 2 γ - 1 1 - u 2 c 2 1 - v 2 c 2 - u 2 γ 2 c 2

Como E = m c 2 1 - u 2 c 2 e passando γ - 1 para dentro da raiz:

p x ' = - γ v c 2 E 1 - u 2 c 2 γ - 2 1 - v 2 c 2 - u 2 γ 2 c 2

Substituindo γ 2 = 1 1 - v 2 c 2 :

p x ' = - γ v c 2 E 1 - u 2 c 2 1 - v 2 c 2 1 - v 2 c 2 - u 2 c 2 1 - v 2 c 2

Já vimos que esse cara aí dentro da raiz simplifica todo, certo?? Então:

p x ' = - γ v c 2 E

Passo 6

Por último, vamos verificar que E ' c = γ E c - v p x c = γ E c ou E ' = γ E :

E ' = m c 2 1 - u ' 2 c 2

Multiplicando em cima e embaixo por γ γ 1 - u 2 c 2 1 - u 2 c 2 :

E ' = m c 2 1 - u ' 2 c 2 γ γ 1 - u 2 c 2 1 - u 2 c 2

E ' = γ m c 2 1 - u 2 c 2 γ - 1 1 - u 2 c 2 1 - u ' 2 c 2

Como E = m c 2 1 - u 2 c 2 , passando γ - 1 para dentro da raiz e substituindo u ' 2 :

E ' = γ E 1 - u 2 c 2 γ - 2 1 - v 2 c 2 - u 2 γ 2 c 2

Mais uma vez, esse termo da raiz aparece rs, mas já sabemos que ele se corta:

E ' = γ E

Passo 7

Vamos lembrar das transformações em x ,   y ,   z e t :

x ' = γ ( x - v t )

y ' = y

z ' = z

E:

t ' = γ t - v x c 2

Se fizermos para c t :

x ' = γ ( x - v c c t )

y ' = y

z ' = z

E:

t ' = γ c t - v c x

Passo 8

De forma semelhante, as transformações de p x ,   p y ,   p z e E / c são:

p x ' = γ p x - v c E c

p y ' = p y

p z ' = p z

E:

E ' c = γ E c - v c p x

Ufaaa, acabou!!

Resposta

Explicação no passo a passo.

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