Enunciado

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A equação para a frente de onda esférica de um pulso de luz que começa na origem no tempo t = 0 é x2 + y2 + z2 - (ct) 2 = 0. O quadro S ′ se move com velocidade v ao longo do eixo x. Usando a transformação de Lorentz, mostre que tal pulso de luz também tem uma frente de onda esférica no referencial S ′ mostrando que x′2 + y′2 + z′2 - () ct ′ 2 = 0.

Passo 1

Opaa, beleza?? Como estão as coisas aí? Bora pro problema!

A transformação de Lorentz foi feita com base no postulado de que a velocidade da luz é c em qualquer referencial inercial.

Assim, se os relógios em S e S ' estão sincronizados em t = t ' = 0 , pelo postulado de Einstein temos que r 2 = c 2 t 2 e r ' 2 = c 2 t ' 2 ou, ainda:

r 2 - c 2 t 2 = 0

′2− 𝑐2 ′2 r ' 2 - c 2 t ' 2 = 0

r 2 - c 2 t 2 = r ' 2 - c 2 t ' 2

Em outras palavras, a quantidade s 2 = r 2 - c 2 t 2 = 0 é uma invariante relativística, que também pode ser escrita como x 2 + y 2 + z 2 - c 2 t 2 = 0 , já que r 2 = x 2 + y 2 + z 2 . Então, precisamos provar que a sentença do enunciado se encaixa nessa condição!

Passo 2

Primeiro, usando as equações de transformação de Lorentz para x, y, z e t, temos:

x ' 2 + y ' 2 + z ' 2 - c t ' 2

Como x ' = γ ( x - v t ) , y ' = y , z ' = z e c t ' = γ c t - v x c , essa soma será:

γ 2 x 2 - 2 v x t + v 2 t 2 + y 2 + z 2 - γ 2 c 2 t 2 - 2 v x t + v 2 x 2 c 2

γ 2 x 2 - 2 v x t γ 2 + v 2 t 2 γ 2 + y 2 + z 2 - γ 2 c 2 t 2 + 2 v x t γ 2 - γ 2 v 2 x 2 c 2

Arrumando isso:

x 2 γ 2 1 - v 2 c 2 + v 2 t 2 γ 2 + y 2 + z 2 - γ 2 c 2 t 2

Colocando γ 2 c t 2 em evidência:

x 2 γ 2 1 - v 2 c 2 + γ 2 c t 2 v 2 c 2 - 1 + y 2 + z 2

Ou melhor:

x 2 γ 2 1 - v 2 c 2 + c t 2 γ 2 v 2 c 2 - 1 + y 2 + z 2

Passo 3

Como nós temos que x ' 2 + y ' 2 + z ' 2 - c t ' 2 = x 2 + y 2 + z 2 - c t 2 , para entrar no postulado de Einstein. Comparando essa equação que achamos no passo anterior com x 2 + y 2 + z 2 - c t 2 , vemos que, igualando os termos com x 2 :

x 2 γ 2 1 - v 2 c 2 = x 2

γ 2 1 - v 2 c 2 = 1

E que, igualando os termos com c t 2 :

c t 2 γ 2 v 2 c 2 - 1 = - ( c t 2 )

γ 2 v 2 c 2 - 1 = - 1

Dessa forma, a expressão x ' 2 + y ' 2 + z ' 2 - c t ' 2 entra no postulado, já que satisfaz r 2 - c 2 t 2 = r ' 2 - c 2 t ' 2 . Beleza??

Resposta

Explicação no passo a passo.

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