Enunciado

Centrífuga em Mercúrio. Uma centrífuga de laboratório na superfície terrestre faz n   r p m ( r e v / m i n ) e produz uma aceleração de 5,0 g na sua extremidade mais externa.

a) Qual a aceleração (em g ) em um ponto na metade do caminho para o fim?

b) Essa centrífuga está sendo usada em uma cápsula espacial sobre o planeta Mercúrio, onde g M E R C Ú R I O é 0,378 do que é na Terra. Quantos r p m (em termos de n ) ela deve fazer para produzir 5 g M E R C Ú R I O na sua extremidade mais externa?

Passo 1

A ideia aqui é que em todos os pontos da centrífuga possuem o mesmo período T , então podemos comparar dois pontos a partir da expressão do período (que vai ter de ser relacionado com a aceleração). Certo? Vamos começar?

A aceleração radial é:

a r a d = v 2 R

E a velocidade pode ser dada por v = 2 π R T , e combinando essas duas expressões:

a r a d = 4 π 2 R T 2

Ou seja, podemos relacionar a aceleração e o raio com o período:

a r a d R = 4 π 2 T 2 = c t e

E como o valor da direita é uma constante numa centrífuga, o lado esquerdo também é. Então vamos considerar R = R 1 e a aceleração associada a a r a d 1 = 5 g . E o segundo raio R 2 = R / 2 a metade da centrífuga e a aceleração nesse ponto é a r a d 2 . Assim podemos comparar esses dois pontos:

a r a d 1 R 1 = a r a d 2 R 2

a r a d 2 = R 2 R 1 a r a d 1 = R / 2 R 5 g

a r a d 2 = 5 2 g = 2,5 g

Passo 2

Agora a ideia aqui é similar. Vamos usar a expressão do período em função do número de rotações para relacionar com a aceleração. Separar em termos o que é constante de um lado e assim comparar dois pontos.

O período (em segundos) está relacionado com o número n (número de revoluções por minuto) pela relação:

n = 60 T

Daí da aceleração radial:

a r a d = 4 π 2 R T 2

E combinando essas duas expressões temos uma relação de n com a aceleração:

a r a d = 4 π 2 R n 2 60 2

E assim deixando a r a d / n 2 do lado direito teremos só valores constantes do lado esquerdo:

a r a d n 2 = 4 π 2 R 60 2

Daí podemos comparar dois momentos com n e a diferentes.

O primeiro conjunto de dados é:

a r a d 1 = 5 g   ; n 1 = n

E o segundo que queremos saber é:

a r a d 2 = 5 g m e r c ú r i o = 5 0,378 g ; n 2 = ?

Daí segue a comparação:

a r a d 1 n 1 2 = a r a d 2 n 2 2

5 g n 2 = 5 0,378 g n 2 2

Podemos cortar 5 g dos dois lados e isolar n 2 :

1 n 2 = 0,378 n 2 2

n 2 2 = 0,378 n 2

n 2 = 0,378 n = 0,61 n

Resposta

a ) 2,5 g

b ) 0,61 n

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