Enunciado

Em t   = 0 , uma roda tem uma velocidade angular de 4,7   r a d / s , uma aceleração angular constante de - 0,25   r a d / s 2 e uma reta de referência em θ 0   =   0 . (a) Qual é o maior ângulo θ m á x descrito pela reta de referência no sentido positivo? Qual é (b) o primeiro e (c) o segundo instante no qual a reta de referência passa pelo ângulo θ = θ m á x 2 ? Em que (d) instante negativo e (e) instante positivo a reta de referência passa pelo ângulo θ = - 10,5   r a d ? (f) Faça um gráfico de θ em função de t e indique as respostas dos itens (a) a (e) no gráfico.

Passo 1

Beleza galerinha, o ângulo   θ m á x é definido pela condição ω   =   0 (que acontece no instante em que a roda para momentaneamente de girar no sentido positivo antes de começar a girar no sentido negativo). Podemos calcular θ m á x usando a equação:

ω 2 = ω 0 2 + 2 α θ m á x

Como ω = 0 , obtemos que:

θ m á x = - ω 0 2   2 α

Logo:

θ m á x = - 4,7   rad/s 2 2 - 0,25   rad/s²

θ m á x = 44   rad  

Passo 2

Iradoso, agora na letra (b), se a gente usar a equação horária:

θ = ω 0 t + α t 2 2

Isolando t na equação de segundo grau, vamos obter:

t = - ω 0 ± ω 0 2 + 2 θ α α

Como:

θ = θ m á x 2

θ = 44 2   rad

θ =   22   rad

Descobrimos que:

t = - 4,7   rad/s ± 4,7   rad/s 2 + 2 22   rad - 2,5   rad/s² - 2,5   rad/s²

t 1 = 5,5   s ,     t 2 = 32   s

Sendo assim, o primeiro instante em que a reta de referência passa pelo ângulo θ m á x / 2 ocorre em:

t 1   =   5,5   s

Enquanto que o segundo instante acontece em:

t 2 = 32   s

Passo 3

Belezoca pessoal, como já vimos que isolando o tempo na equação:

θ = ω 0 t + α t 2 2

Obtemos:

t = - ω 0 ± ω 0 2 + 2 θ α α

Para um instante onde θ = - 10,5   rad , vamos ter que:

t = - 4,7   rad/s ± 4,7   rad/s 2 + 2 - 10,5   rad - 2,5   rad/s² - 2,5   rad/s²

Tal que:

t 1 = - 2,1   s ,     t 2 = 40   s

Portanto, o instante negativo em que a reta de referência passa pelo ângulo - 10,5   rad é:

t 1 = - 2,1   s

Enquanto que o instante positivo, ocorre quando:

t 2 = 40   s

Passo 4

O gráfico pedido é mostrado na figura a seguir, com os resultados dos itens anteriores assinalados por pontos.

Resposta

  1. θ m á x = 44   rad
  2. t 1   =   5,5   s
  3. t 2 = 32   s
  4. t 1 = - 2,1   s
  5. t 2 = 40   s
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