Enunciado

Uma certa onda estacionária transversal em uma corda longa possui um antinó em x   =   0 e um nó vizinho em x   = 0,10   m   . O deslocamento y ( t ) da partícula da corda situada em x   =   0 é mostrado na Figura, onde a escala do eixo y é definida por y   =   4,0   c m . Para t   =   0,50   s , qual é o deslocamento da partícula da corda situada ( a) em x   =   0,20   m e (b) em x   =   0,30   m ? Qual é a velocidade transversal da partícula situada em x   =   0,20 (c) no instante t   =   0,50 se (d) no instante t   =   1,0   s ? (e) Plote a onda estacionária, no intervalo de x   = 0 a x   =   0,40   m , para o instante t   =   0,50   s .

Passo 1

Fala galerinha bonita, vamos começar! Nessa questão, como o enunciado nos pergunta quais são os deslocamentos de partículas localizadas em diferentes pontos da corda, primeiro, a gente precisa escrever a equação dessa onda estacionária.

Lembra do formato geral dessa equação? Ele é tipo isso:

y x , t = ± 2 y m c o s k x s e n ( ω t )

tal que y m , k   e ω   são a amplitude da onda, seu número de onda (igual a 2 π λ ) e sua frequência angular. Colocamos o sinal ± acima, pois ele depende do comportamento crescente ou decrescente inicial de y x , t com x . Na figura, a gente consegue ver que para um x fixo, com o aumento de t o y começa a decrescer, ficando cada vez mais negativo para depois crescer. Então, como a função seno é crescente, dá pra deduzir que o sinal mais adequado é o de menos. Então a equação geral dessa onda estacionária é

y x , t = - 2 y m c o s k x s e n ( ω t )

Passo 2

Belezinha! Agora a gente já está quase preparado para matar a letra (a) e as seguintes. Mas antes a gente precisa descobrir qual são os valores de y m , k e ω .

Eles podem ser descobertos diretamente a partir dos dados do enunciado. Primeiro, note que 2 y m = 0,04   m , que é a amplitude da onda. Da figura na questão, a gente pode perceber que o tempo que demora para a posição y completar um ciclo é igual a 2,0   s . Então, T = 2,0   s e

ω = 2 π T = 2 π 2,0 s

ω = π   rad/s

Agora, pra gente descobrir λ a gente precisa prestar atenção entre as distâncias de alguns pontos localizados em posições x diferentes dadas no enunciado. Perceba que, segundo ele, existe um antinó em x = 0   m e um nó vizinho em x = 0,10   m (antinó= ventre = ponto correspondente a um y mínimo) . Como um nó e um antinó estão distanciados em λ 2 , então:

λ 4 = 0,10   m

λ = 0,40   m

Beleza! Com isso, finalmente, a gente consegue encontrar o valor de k :

k = 2 π λ

k = 2 π 0,40   m

k = π 0,2 rad/m

Logo:

k = 5 π   rad/m

Passo 3

Perfeito! Agora é só usarmos esses valores encontrados no passo anterior pra determinar a equação da onda, que fica assim:

y x , t = - 0,04   m cos ⁡ 5 π x s e n ( π t )

Agora, podemos responder às alternativas seguintes.

Passo 4

(a)Para saber o deslocamento em x = 0,2   m quando t = 0,50   s , é só substituir esses valores na equação da onda que a gente achou:

y 0,20   m , 0,50   s = - 0,04   m cos ⁡ 5 π ( 0,20   m s e n π 0,50   s

y 0,20   m , 0,50   s = 0,040   m

Passo 5

(b)Substituindo x = 0,30   m e t = 0,50   s , temos:

y 0,30   m , 0,50   s = - 0,04   m cos ⁡ 5 π ( 0,30   m s e n π 0,50   s

y 0,30   m , 0,50   s = - 0,04   m cos ⁡ 3 π 2 s e n π 2

y 0,30   m , 0,50   s = 0

Passo 6

(c)Pra encontrar a velocidade, é só a gente derivar a equação da posição com relação ao tempo:

y x , t = - 0,04   m cos ⁡ 5 π x s e n ( π t )

Logo:

v x , t = ∂ y x , t ∂ t = ∂ - 0,04   m cos ⁡ 5 π x s e n π t ∂ t

v x , t = - 0,04   m cos ⁡ 5 π x c o s π t π

Substituindo x = 0,2   m ,   t = 0,5   s acima, a gente encontra isso:

v 0,20   m , 0,50   s = - 0,04   m cos ⁡ 5 π 0,20   c o s π 0,50 π

v 0,20   m , 0,50   s = - 0,04   m cos ⁡ π c o s π 2 π

v 0,20   m , 0,50   s = 0

Passo 7

(d)Fazendo a mesma coisa pra encontrar a velocidade em x = 0,20   m ,   t = 1,0   s , temos:

v 0,20   m , 1,0   s = - 0,04   m cos ⁡ 5 π 0,20   c o s π 1,0 π

v 0,20   m , 1,0   s = - 0,04   m cos ⁡ π c o s π π

v 0,20   m , 1,0   s = - 0,1256   m/ s  

Passo 8

(e) Aqui, vamos plotar a função y ( x , t ) que encontramos antes em um instante t = 0,50   s fixo, com x variável. Precisamos então expressar o gráfico da equação abaixo:

y x , 0,50 = y x = - 0,04   m cos ⁡ 5 π x s e n π 2

y x , 0,50 = - 0,04   m cos ⁡ 5 π x

A equação acima representa função de período igual a 2 π 5 π = 0,40   s e amplitude 0,04   m . Desenhando o comportamento dessa função, encontramos um gráfico assim:

Resposta

  1. 0,040   m
  2. 0
  3. 0
  4. - 0,1256   m/s
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