Enunciado

A equação de uma onda transversal que se propaga em uma corda é

y = 0,15 s e n ( 0,79 x - 13 t )

onde x   e   y estão em metros e t está em segundos. (a) Qual é o deslocamento y em x   =   2,3   m e t   =   0,16   s ? Uma segunda onda é combinada com a primeira para produzir uma onda estacionária na corda. Se a equação da segunda onda é da forma y ( x ,   t )   =   y m s e n ( k x   ± ω t ) , determine (b) y m , (c)   k , (d) ω e (e) o sinal que precede ω . (f) Qual é o deslocamento da onda estacionária em x   =   2,3   m e   t   =   0,16   s ?

Passo 1

(a)Aqui, é só a gente substituir os valores de x e y   dados na equação da onda:

y x = 2,3 m ,   t = 0,16 s = 0,15 s e n 0,79 2,3 - 13 0,16 = - 0,039   m

Passo 2

(b)Para que ao final da superposição das ondas possa ser formada uma onda estacionária com nós, deve ocorrer que y m seja igual à amplitude da primeira onda, igual a 0,15   m .

Passo 3

(c)A segunda onda, para que seja ao fim formada uma onda estacionária, deve possuir a mesma freqüência e comprimento de onda da primeira. Por isso, o k dessa onda deve ser igual ao da primeira, que vale 0,79   m - 1

Passo 4

(d)Como elas têm a mesma freqüência, o ω dessa outra onda é igual ao da primeira, que vale 13   r a d   s - 1 .

Passo 5

(e)A onda deve estar se movendo na direção – x e, portanto, seu ω deve ser precedido de um sinal positivo.

Passo 6

(f)Como vimos em outras questões, a equação que representa a posição y de pontos ao longo de uma onda estacionária resultante da superposição de duas ondas de mesma freqüência e comprimento de onda é dada pela soma das equações dessas duas. Então, a gente tem essa equação para a onda estacionária resultante:

y = 0,15 s e n 0,79 x - 13 t + 0,15 s e n 0,79 x + 13 t

Então, pra acharmos o deslocamento da onda estacionária resultante, basta substituirmos x = 2,3   m e t = 0,16   s .

Percebe aqui que o primeiro termo 0,15 s e n 0,79 2,3 - 13 0,16 a gente já achou antes, no primeiro passo. Boa! Agora, basta a gente achar esse resultado:

y = - 0,039 m + 0,15 s e n 0,79 ( 2,3 ) + 13 ( 0,16 ) ≅ - 0,14   m

Resposta

(a) - 0,039   m

(b) 0,15 m

(c) 0,79 m - 1

(d) ω = 13 r a d s

(e) +

(f) - 0,14   m

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