Enunciado

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Uma barata de massa 0,17 k g corre no sentido anti-horário na boda de um disco circular de raio 15 c m e momento de inércia 5.10 - 3 k g . m ² , montado em um eixo vertical com atrito desprezível. A velocidade da barata (em relação ao chão) é 2 m / s e o disco gira no sentido horário com uma velocidade angular ω 0 = 2,8 r a d / s . A barata encontra uma migalha de pão na borda e, obviamente, para.

( a ) Qual é a velocidade angular do disco depois que a barata para? A energia mecânica é conservada quando a barata para?

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem? Vamos praticar um pouco de conservação de momento angular? Nessa questão o que acontece é que o momento angular antes e depois da barata parar é o mesmo, então

L i = L f

Passo 2

No início o momento angular é dado por

L i = L i b a r a t a + L i d i s c o

O momento angular da barata é

L i b a r a t a = I b a r a t a ω

Como a barata tá na borda do disco, o seu momento de inércia é dado por

I b a r a t a = m b a r a t a R 2

Onde R é a distância da barata ao eixo do disco.

E a sua velocidade angular é

v = ω R

ω = v R

Assim

L i b a r a t a = m b a r a t a R 2 v R

L i b a r a t a = m b a r a t a R v

Já o momento angular do disco é

L i d i s c o = I d i s c o ω 0 d i s c o

Lembrando que o enunciado já deu I d i s c o .

Juntando tudo, temos o seguinte

L i = m b a r a t a R v + I d i s c o ω 0 d i s c o

Passo 3

O momento angular final é dado por

L f = L f b a r a t a + L f d i s c o

Agora quando a barata para de se mover sobre o disco a sua velocidade angular é igual a velocidade angular do disco, já que os dois giram juntos, então

L f = ω f I d i s c o + ω f I b a r a t a

Colocando ω f em evidência

L f = ω f I d i s c o + I b a r a t a

Substituindo o I b a r a t a que achamos no passo anterior:

L f = ω f I d i s c o + m b a r a t a R 2

Passo 4

Conservando o momento angular vamos ter

L i = L f

m b a r a t a R v + I d i s c o ω 0 d i s c o = ω f I d i s c o + m b a r a t a R 2

Isolando ω f :

ω f = m b a r a t a R v + I d i s c o ω 0 d i s c o I d i s c o + m b a r a t a R 2

Como o ω d i s c o e v estão em sentidos opostos, pois a barata se move no anti-horário e o disco no horário, as velocidades terão sinais opostos. Vamos adotar que o sentido anti-horário é positivo, ok? Então ω 0 d i s c o = - 2,8 r a d / s .

Agora, é só jogar os valores numéricos

ω f = 0,17 ⋅ 0,15 ⋅ 2 + 5 ⋅ 10 - 3 ⋅ ( - 2,8 ) 5 ⋅ 10 - 3 + 0,17 ⋅ 0,15 2

ω f = 4,2   r a d / s

Passo 5

Para a energia mecânica, temos que tanto o disco quanto a barata possuem apenas energia cinética inicialmente. E, no final, apenas o disco tem energia cinética de rotação, pois a barata para. Logo, pela conservação de energia:

K i = K f

I b a r a t a ω b a r a t a 2 2 + I d i s c o ω 0 2 2 = I b a r a t a ω f 2 2 + I d i s c o ω f 2 2

m b a r a t a R 2 v R 2 2 + I d i s c o ω 0 2 2 - I d i s c o ω f 2 2 - m b a r a t a R 2 ω f 2 2 = 0

m b a r a t a R 2 v 2 R 2 2 + I d i s c o ω 0 2 2 - I d i s c o ω f 2 2 - m b a r a t a R 2 ω f 2 2 = 0

m b a r a t a v 2 2 + I d i s c o ω 0 2 2 - ω f 2 2 I d i s c o - m b a r a t a R 2 = 0

Substituindo os valores que temos:

0,17 ⋅ 2 2 2 + 5 ⋅ 10 - 3 ⋅ - 2,8 2 2 - 4,2 2 2 5 ⋅ 10 - 3 - 0,17 ⋅ 0,15 2 = 0

0,35 = 0

Como a igualdade não foi satisfeita, a energia mecânica não se conservou.

Resposta

(a) ω f = 4,2   r a d / s

(b)Não

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