Enunciado

O ciclo da figura abaixo representa a operação de um motor de combustão interna a gasolina. O volume V 3 = 4 V 1 . Suponha que a mistura de admissão gasolina-ar é um gás ideal com γ = 1,3 . Qual é a razão a T 2 / T 1 , b T 3 / T 1 , c T 4 / T 1 , d p 3 / p 1 , e p 4 / p 1 ? ( f ) Qual é a eficiência do motor?

Passo 1

(a) Faala ae! Para achar essa razão temos que pegar uma expressão que contenha esses termos. Então, podemos usar:

p i V i T i = p f V f T f

Usando essa expressão para os processos 1 e 2 :

p 1 V 1 T 1 = p 2 V 2 T 2

T 2 T 1 = p 2 V 2 p 1 V 1

Usando as informações do problema:

T 2 T 1 = 3 p 1 . V 1 p 1 . V 1  

T 2 T 1 = 3

Passo 2

(b) Agora para o processo adiabático descrito por 2 → 3 temos essa relação válida:

T 2 V 2 γ - 1 = T 3 V 3 γ - 1

Do gráfico tiramos as seguintes informações:

  • V 2 = V 1 ; p 2 = 3 p 1
  • V 3 = 4 V 1

E do passo 1 sabemos que a razão entre T 2 / T 1 é 3 .

Então, se nosso objetivo é calcular T 3 / T 1 saca só esse “truque sujo”: vou dividir a equação ali em cima por T 1 e você vai que que vai surgir o que queremos:

T 2 T 1 V 2 γ - 1 = T 3 T 1 V 3 γ - 1

Massa né? Isso vai ser feito nos próximos passos para determinar as outras razões que o problema pede ;)

Voltando para nossa expressão, ela pode ser simplificada assim:

3 . V 2 γ - 1 V 3 γ - 1 = T 3 T 1

Agora vamos substituir os valores dos volumes retirados do gráfico e que γ = 1,3 :

T 3 T 1 = 3 . V 2 γ - 1 V 3 γ - 1 = 3 . V 1 γ - 1 4 V 1 γ - 1   = 3 4 γ - 1 = 3 4 1,3 - 1

T 3 T 1 = 1,97

Passo 3

(c) Para determinar a razão T 4 / T 1 vamos usar a expressão para um processo adiabático envolvendo volume e temperatura:

T 4 V 4 γ - 1 = T 1 V 1 γ - 1  

T 4 T 1 = V 1 γ - 1 V 4 γ - 1

Do gráfico temos que V 4 = V 3 = 4 V 1 , então basta substituir na expressão acima e cancelar os termos em comum no lado direito:

T 4 T 1 = V 1 γ - 1 4 V 1 γ - 1   = 1 4 γ - 1 = 1 4 1,3 - 1

T 4 T 1 = 0,66

Passo 4

(d) Para determinar a razão entre as pressões p 3 e p 1 vamos proceder de maneira similar ao passo 3 . Vamos analizar o processo 2 → 3 . Ele é adiabático, certo? Então a relação entre pressão e volume é dada por:

p 2 V 2 γ = p 3 V 3 γ

O que queremos é a razão que envolve p 1 , então fazendo o mesmo “truque sujo” de dividir por p 1 temos:

p 2 p 1 V 2 γ = p 3 p 1 V 3 γ

Agora do gráfico tiramos os valores de pressão e volume:

  • p 2 = 3 p 1 ; V 2 = V 1
  • p 1 = p 1 ; V 3 = 4 V 1

E temos também que γ = 1,3 , assim a razão entre as pressões 3 e 1 é dada por:

3 p 1 p 1 . V 1 γ = p 3 p 1 . 4 V 1 γ

Podemos simplificar e isolar p 3 p 1 do lado esquerdo:

p 3 p 1 = 3 4 γ = 3 4 1,3 = 0,49

Passo 5

(e)Agora para determinar a razão entre as pressões p 4 e p 1 , sabemos que o processo que envolve esses estados é adiabático, então a relação entre pressão e volume é:

p 4 V 4 γ = p 1 V 1 γ

p 4 p 1 = V 1 γ V 4 γ

Do gráfico temos que V 4 = V 3 = 4 V 1 , assim é só substituir:

p 4 p 1 = V 1 γ 4 V 1 γ = 1 4 γ = 1 4 1,3

Assim a razão entre as pressões é:

p 4 p 1 = 0,16

Passo 6

(f)Por fim, o problema pede a eficiência da máquina.

Para isso precisamos dos valores de calor da fonte quente e da fonte fria.

Sabemos que nos processos adiabáticos não há troca de calor. Sendo assim, o calor da fonte quente vai ser dado pelo processo 1 → 2 que é a volume contante.

Q Q = n C v T 2 - T 1 = n C v 3 T 1 - T 1 = 2 n C v T 1

O calor da fonte fria também vai ser dado pela expressão do calor molar a volume constante, mas entre os estados 3 e 4 :

Q F = n C v T 4 - T 3

Mas daí você se pergunta “e as temperaturas?? E agora?” Calma! O que queremos é a eficiência, e ela é proporcional à razão Q F / Q Q . Olha lá pra expressão da fonte quente. Ela não envolve T 1 ? E nós não acabamos de calcular a razão entre as diversas temperaturas? Então calma que existe luz no fim do túnel!

O valor da eficiência vai ser dado por:

ϵ = 1 - Q F Q Q = 1 - n C v T 4 - T 3 2 n C v T 1 = 1 - 1 2   . T 4 T 1 - T 3 T 1

Olha aí o que falei! Temos a razão entre as temperaturas T 4 / T 1 e T 3 / T 1 ! Assim a eficiência vaiser dada por:

ϵ = 1 - 1 2 0,66 - 1,97

ϵ = 1 - - 0,655 = 0,34

ϵ = 34 %

Resposta

a 3

b 1,97

c 0,66

d 0,49

e 0,16

f 34 %

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