Enunciado

Um cilindro homogêneo de massa M e raio 2 R está em repouso sobre o topo de uma mesa. Um fio é ligado por meio de um suporte duplo preso às extremidades de um eixo sem atrito passando através do centro do cilindro de modo que o cilindro pode girar em torno do eixo. O fio passa sobre uma polia em forma de disco de massa M e raio R montada em um eixo sem atrito que passa em seu centro. Um bloco de massa M é suspenso na extremidade livre do fio (Figura 10.62 ). O fio não desliza sobre a superfície da polia, e o cilindro rola sem deslizar sobre o topo da mesa. Calcule o módulo da aceleração do bloco quando o sistema é libertado a partir do repouso.

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Resumindo o que problema nos contou, nós temos um bloco suspenso que vai puxar a corda para baixo, fazendo o cilindro girar. E a gente que a aceleração do bloco.

Se liga na imagem para a gente imaginar melhor:

Para resolvermos o problema, vamos usar a conservação de energia para relacionar a velocidade do bloco com a distância que ele desceu.

Lembrando que o momento de inércia do cilindro será de I = 1 2 M ( 2 R ) 2 e o da polia é de I = 1 2 M R 2 .

Onde R é o raio da polia, 2 R é o raio do cilindro, M é a massa da polia e também do bloco.

Passo 2

Nesse problema temos três elementos: um bloco, uma polia e o cilindro.

Usar a conservação de energia vai facilitar muito a nossa vida e simplificar os cálculos, por isso, se o bloco tem velocidade v , a polia tem velocidade angular v R . Como o cilindro está conectado à polia, a sua velocidade angular é v R também ;)

Então a energia cinética K vai ser dada por:

K = K c i l + K b l o c o + K p o l i a + K c i l 2

Onde K c i l , K p o l i a ,   K c i l 2   e   K b l o c o são as energias cinéticas do cilindro, da polia, cilindro (pela velocidade angular) e do bloco, respectivamente.

Assim, sabendo que a energia cinética é dada por m a s s a × v e l o c i d a d e 2 2 , temos:

K = 1 2 M v 2 + M v 2 + M R 2 2 v R 2 + M 2 R 2 2 v 2 R 2

Vamos organizar essa expressão:

K = 3 2 M v 2

Show!

Passo 3

Como podemos perceber, o trabalho realizado se dá pela gravidade. Então, a energia cinética expressa:

K = M g y

Onde g é a aceleração da gravidade e y é a distância de descida é dado por y .

Assim, igualando as equações temos

3 2 M v 2 = M g y

Eliminando o “ M ”, uma vez que a massa é a mesma, em ambos os lados:

3 2 v 2 = g y

E, por fim, isolando a velocidade:

v 2 = 2 3 g y

Terminou??? Nãoo!! A gente que a aceleração!

Passo 4

Precisamos lembrar de um detalhe: quando o objeto começa a se deslocar a partir do repouso e de uma altura y acima do solo, sua velocidade quando atinge o solo é dada por:

v 2 = v 0 2 + 2 a y

partindo do repouso ( v 0 = 0 ) , temos:

v 2 = 0 + 2 a y

Assim, podemos dizer que a aceleração do bloco é constante:

v 2 = 2 a y

Por fim, igualando as velocidades, temos:

2 3 g y = 2 a y

a = g 3

Prontinho!!

Resposta

a = g 3

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