Enunciado

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Um cilindro maciço, longo, não condutor, com 4,0   c m de raio, possui uma densidade volumétrica de cargas não uniforme ρ que é função da distância radial r a partir do eixo do cilindro: ρ   =   A   r 2 . Se A   =   2,5   μ C / m 5 , determine o módulo do campo elétrico (a) para r   =   3,0   c m ; (b) para r =   5,0   c m

Passo 1

Faaaaala galerinha, animados?

Então bora laa ...

Nós queremos achar o campo elétrico em dois raios distintos, um interno ao cilindro e outro externo, ok?

Quando r   =   3,0   c m estamos falando de uma situação interna ao cilindro do problema!! Então vamos considerar a superfície gaussiana como sendo um cilindro de r   =   3,0   c m e comprimento L :

Para calcular a carga dentro do cilindro podemos usar a relação:

d q i n t = ρ × d V

Onde d q i n t é uma unidade infinitesimal de carga interna e d V a unidade pequenina de volume!!

Para um cilindro nós temos que:

d V = 2 π r L × d r

Substituindo:

d q i n t = ρ × 2 π r L × d r

E lembrando que:

ρ   =   A   r 2

Então:

d q i n t = 2 π L A × r 3 d r

Para encontrar a carga interna nós vamos integrar:

q i n t = ∫ d q i n t = ∫ 2 π L A × r 3 d r

q i n t = 2 π L A r 4 4

Shooow !! Achamos algo muito importante, mas ainda não terminamos !!

Passo 2

Acabamos de achar a carga interna a uma distância r < R do eixo central e agora, só falta usarmos a Lei de Gauss:

∮ A E ⋅ d A = q i n t ϵ 0

Para resolver a integral é importante nós lembrarmos que, como o campo elétrico aponta na direção radial nós só teremos fluxo na área lateral do cilindro, ou seja, de 0 até L:

∮ A E ⋅ d A = ∫ 0 L E ⋅ 2 π r ⋅ d x = E ⋅ 2 π r ⋅ L

E igualando:

E . 2 π r L = q i n t ϵ 0

Substituindo q i n t que achamos no Passo 1:

E . 2 π r L = 2 π L A r 4 4 ϵ 0

E = A r 3 4 ϵ 0

Agora ficou top demais, basta nós usarmos:

r = 0,03   m

A = 2,5 × 10 - 6 C m 5

ϵ 0 = 8,85 × 10 - 12 C 2 N m 2

Substituindo:

E = 2,5 × 10 - 6 C m 5 0,03   m 3 4 8,85 × 10 - 12 C 2 N m 2

E = 1,9 N C

Passo 3

Passo 4

Na letra (b) temos r = 5   c m , certo?

Já sabemos do Passo 2 que:

E . 2 π r L = q i n t ϵ 0

E pelo Passo 1 nós achamos a carga interna ao cilindro:

q i n t = 2 π L A R 4 4

Substituindo para achar o campo:

E = 2 π L A R 4 2 π r L × 4 ϵ 0 = A R 4 4 r ϵ 0

E colocando os dados:

E = 2,5 × 10 - 6 C m 5 0,04   m 4 4 8,85 × 10 - 12 C 2 N m 2 0,05   m

E = 3,6 N C

E fechamos mais umaa !!

Resposta

  1. 1,9 N C ;
  2. 3,6 N C

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