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Física - Fundamentos de Física Volume 3 - Eletromagnetismo - 9ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick - Capítulo 23.4 - Ex. 10

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A Fig. 23-30 mostra uma superfície gaussiana com a forma de um cubo de 2,00 m de aresta, imersa E = 3,00 x + 4,00 i ^ + 6,00 j ^ + 7,00 k ^ N / C (...) [conteúdo oculto por direitos autorais]

Passo 1

Então temos um cubo de lado l=2,00m , nesse cubo passa o campo, E = 3,00 x + 4,00 i ^ + 6,00 j ^ + 7,00 k ^ N / C . Precisamos descobrir a carga total contida no cubo.

Podemos utilizar a lei de Gauss para descobrir a carga contida no cubo, porém para isso, precisamos calcular o fluxo elétrico que atravessa o cubo, para isso podemos utilizar a formula:

Φ = ∮ E → . d a →

Onde:

  • Φ é o fluxo elétrico que atravessa o cubo;
  • E → é o campo elétrico e
  • d a → é a derivada da área atravessada.

Antes de fazer essa integral, vamos pensar o seguinte, quando eu tenho um campo elétrico constante atravessando a superfície, esse campo não tem importância para o fluxo total que atravessa a superfície. Pois tudo que entra, devido a esse campo, sai. LOGO, só estamos interessados em quem irá variar!

Se olharmos para o campo que é dado no enunciado, podemos descartar de cara as componentes y ( 6,00 j ^ ) e z ( 7,00 k ^ ) e a componente constate do x ( 4,00 i ^ ). Pois elas NÃO VARIAM com a posição!

Podemos fazer toda a conta com essas componentes? Podemos, mas no final só estaríamos fazendo contas a mais que vão zerar.

Como a nossa única componente que varia com a posição é a componente do eixo x do campo elétrico, dada por 3,00 x , vamos calcular o fluxo, somente levando em conta a face frontal e traseira, porque são elas que variam o x :

Φ = Φ f r o n t a l + Φ t r a s e i r o

Onde:

Φ f r o n t a l = ∫ E x = 0 → . d a →  

Aqui temos E x = 0 o campo onde x = 0 ,a face que está na origem do eixo x .

Enquanto:

Φ t r a s e i r o =   ∫ E x = - 2 → . d a →    

A face traseira do cubo está na parte negativa de x e se o cubo tem lados iguais a 2 m , essa face traseira está em x = - 2 m .

Aqui temos os nossos fluxos, e eles são dados por produtos escalares. Para saber se esses produtos escalares vão dar positivo ou negativo, uma boa forma de se ver, é pensar que:

Fluxo que está saindo da superfície é positivo.

Fluxo que está entrando na superfície é negativo.

Olhando para a nossa figura, temos:

Vemos então que o fluxo ocasionado pela componente x do campo elétrico na face traseira está entrando na superfície e, portanto, o nosso produto escalar dá negativo:

ϕ t r a s e i r o = ∫ - E x = - 2 . d a

E o fluxo na frontal está saindo, portanto o produto escalar dá positivo:

ϕ f r o n t a l = ∫ E x = 0 . d a  

Continuando...

Se o campo é dado só pela componente que varia o x , então será:

E x =   3,00 x i ^

Vamos substituir então na equação?

Φ = Φ f r o n t a l + Φ t r a s e i r o

Substituindo os fluxos:

Φ = ∫ E x = 0 . d a + ∫ - E x = - 2 . d a    

Substituindo os campos e seus pontos x :

Φ = ∫ 3,0   .   0 d a + ∫ - 3,0 . - 2,00 d a

Multiplicando, temos:

Φ = 6 ∫ d a

E qual é a área de um quadrado com aresta igual a 2 m ? Sim, a área é igual a A = 2 m 2

Φ = 6   . 2,00 2

Φ = 24 N m ² / C

Passo 2

Agora, utilizando a lei de Gauss para encontrar a carga, essa lei diz que o fluxo elétrico

Φ = q ε 0

É igual a divisão do valor da carga interna pela permissividade elétrica do meio, logo:

q = Φ ε 0

Substituindo o valor do campo elétrico que calculamos e o valor da permissividade elétrica ε 0 = 8,85 × 10 - 12   :

q = 24 8,85   . 10 - 12

q = 2,12   .   10 - 10 C

Resposta

q = 2,12 × 10 - 10 C

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