Enunciado

Um cilindro sólido não condutor infinitamente longo de raio a tem uma massa específica volumétrico uniforme de ρ 0 . Mostre que o campo elétrico é dado pelas seguintes expressões: E R = ρ R / 2 ε 0 para 0 ≤ R < a e E R = ρ 0 a 2 / ( 2 ε 0 R )   para R > a onde R é a distância ao eixo do cilindro.

Passo 1

Fala galera. Esse exercício trata sobre um cilindro não condutor que está uniformemente carregado. Sendo assim, podemos utilizar a lei de Gauss e aproveitar a simetria cilíndrica do problema.

Passo 2

  • Para pontos no interior, temos que
  • Vamos calcular a carga interna:

    q i n t = ρ 0 V g a u s s i a n a q i n t = ρ 0 π R 2 L

    sendo L o comprimento do cilindro. Logo, temos que

    ∮ E ⋅ d A = q i n t ε 0 E 2 π R L = ρ 0 π R 2 L ε 0 E = ρ 0 R 2 ε 0

    Passo 3

  • Para pontos externos, temos

Aqui a carga interna é a própria carga do cilindro:

q i n t = σ V c i l i n d r o = σ π a 2 L

Logo, temos

∮ E   d A = q i n t ε 0 E 2 π a L = σ π a 2 L ε 0 E = ρ 0 a 2 2 ε 0 R

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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