Enunciado

Cinco corpos, cada um de massa M , estão igualmente espaçados sobre um arco de semicírculo de raio R , como na figura. Um corpo de massa m está localizado no centro de curvatura do arco. (a) Se M é 3,0 k g , m é 2,0 k g e R é 10 c m , qual é a força gravitacional sobre a partícula de massa m devida aos cinco corpos? (b) Se o corpo de massa m é removido, qual é o campo gravitacional no centro de curvatura do arco?

Passo 1

a) Vamos usar o princípio da superposição para calcular a força que atua na massa m . Como assim? Isso quer dizer que vamos achar a força causada pela interação de m com cada bola de massa M , e dizer que a força total é a soma das forças de cada uma.

O módulo da força gravitacional gerada pela proximidade de uma massa m com outra massa M é

F = G M m R 2

Sendo R   a distância entre elas.

Vamos calcular essa força de cada bola. Temos que   M   é   3,0 k g ,   m   é   2,0 k g . Já R vai ser o mesmo para todas as massinhas m e vale

R = 10   c m = 0,1   m

Substituindo esses dados na nossa fórmulinha, temos:

F = 6.67 × 10 - 11 × 3 × 2 0.1 2

Passo 2

Precisamos saber agora quanto valem as componentes horizontal e vertical de cada uma delas para que a gente possa somar.

Percebe que o ângulo entre cada segmento azul que liga a m com M é de 45 ° . Para confirmar isso, é só você vê que temos 4 ângulos iguais em um intervalo de 180 ° .

E repara também que a força gerada sempre vai tender juntar as duas massas, por isso temos as forças no sentido mostrado na figura.

Considerando um par habitual de eixos, com origem em m , com i ^ positivo para a direita e j ^ positivo para cima, podemos colocar as forças em forma vetorial assim:

F 1 → = - F i ^

F 2 → = F ( - c o s 45 ° i ^ + s e n 45 ° j ^ )

F 3 → = F j ^

F 4 → = F ( c o s 45 ° i ^ + s e n 45 ° j ^ )

F 5 → = F i ^

A força total será a soma de todas elas!

F → = 0 i ^ + 2 s e n 45 ° + 1 F j ^

Substituindo o valor de F

F → = 0 i ^ + 2 s e n 45 ° + 1 6.67 × 10 - 11 × 3 × 2 0.1 2 j ^

F → = 0 i ^ + 9.7 × 10 - 8 N j ^

Essa é força sobre m !

Passo 3

b) Ele quer g → no centro da curva. Como a força gravitacional é dada por

F → = m g →

E já temos F → no centro da curva e m da massinha no centro da curva, podemos Isolar g → e substituir nossos dados

g → = F → m

g → = 0 i ^ + 9.7 × 10 - 8 N j ^ 2

g → = 4.8 × 10 - 8 m s 2 j ^

Resposta

  1. F → = 0 i ^ + 9.7 × 10 - 8 N j ^
  2. g → = 4.8 × 10 - 8 m s 2 j ^
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