Enunciado

59. Energia solar magnética. A força dos campos magnéticos no interior de uma mancha solar podem chegar a 0,4   T . (Comparativamente, a força do campo magnético da Terra é cerca de 1 / 10000 disso.) As machas solares podem ter até 25000   k m de raio. O material de uma macha solar possui densidade aproximada de 3 ⋅ 10 - 4   k g / m 3 . Suponha que μ para o material da mancha solar seja μ 0 . Se 100 % da energia do campo magnético armazenado em um ponto solar pudesse ser usada para ejetar da superfície do Sol o material da mancha solar, qual seria a velocidade de ejeção do material? Compare com a velocidade de escape do Sol, que é de aproximadamente 6 ⋅ 10 6   m / s . (Sugestão: calcule a energia cinética que o campo magnético pode fornecer a 1   m 3 de material da mancha solar.)

Passo 1

A sugestão dada pelo enunciado é bem interessante de ser seguida, já que a situação descrita pelo enunciado diz que toda a energia do campo magnético contribuiu para ejetar 1   m 3 de material, então toda energia pot5ecial do campo foi transformada em energia cinética, logo:

U B = K

Como temos que considerar a energia potencial de uma certa quantidade de material, a melhor forma de encontrar seu valor seja através da seguinte relação:

U B = u B V

Onde V é o volume de material e u B é a densidade de energia que é dada por:

u B = B 2 2 μ 0

A energia cinética é dada da seguinte maneira:

K = 1 2 m v 2

Onde v é velocidade que queremos encontrar e m é massa do material ejetado, mas como vamos saber essa massa?

Vamos lembrar que massa pode ser definida como o produto da densidade pelo volume, então:

m = ρ V

Passo 2

Agora vamos juntar toas as informações do passo 1 n igualdade entre as energias potencial e cinética, temos;

U B = K

⇒ u B V = 1 2 m v 2

⇒ B 2 2 μ 0 V = 1 2 ρ V v 2

Cortando V e 1 / 2 dos dois lados, temos:

B 2 μ 0 = ρ v 2

Isolando v , temos;

v = B μ 0 ρ

Passo 3

Agora vamos substituir os valores de B , ρ e μ 0 na expressão que encontramos no passo 2 para acharmos o valor de v , temos:

v = B μ 0 ρ

Lembrando que μ 0 = 4 π ⋅ 10 - 7   W b / A ⋅ m , então:

v = 0,4 ( 4 π ⋅ 10 - 7 ) ( 3 ⋅ 10 - 4 )

= 0,4 37.7 ⋅ 10 - 11

Então temos que:

v = 2,06 ⋅ 10 4   m / s

Resposta

v = 2,06 ⋅ 10 4   m / s

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