Enunciado

68. No circuito indicado na Figura 30.27 , ε = 60,0   V , R 1 = 40,0   Ω , R 2 = 25   Ω e L = 0,300   H . ( a ) A chave S está fechada. Em um instante t posterior, a corrente no indutor está crescendo com uma taxa d i / d t = 50,0   A / s . Nesse instante qual é a corrente i 1 que passa em R 1 e qual é a corrente i 2 que passa em R 2 ? (Sugestão: análise duas espiras separadas: uma contendo ε e R 1 e a outra contendo ε ,   R 2 e L .) ( b ) A seguir, a chave é mantida fechada durante um tempo muito longo e depois é aberta. Logo depois de ela ser aberta, qual é a corrente que passa em R 1 ?

Passo 1

Bem, basicamente para resolver esse problema temos que usar a lei de Ohm, só teremos condições diferentes para cada situação descrita no enunciado.

Primeiro para o que é pedido no item ( a ) , utilizando a sugestão dada temos que para achar i 1 , basta aplicar a lei de Ohm no resistor, assim temos que:

ε = i 1 R 1

Como conhecemos a fem e R 1 basta isolar i 1 e calculá-lo.

Para achar i 2 podemos aplicar a lei de das malhas para a espira que contém o resistor e o indutor, que teremos que:

ε - i 2 R 2 - V L = 0

Assim é só isolar i 2 , mas como achamos V L ?

Bem, V L é tensão no indutor que pode ser encontrada através da seguinte fórmula:

V L = L d i d t

E ainda bem que o enunciado nos deu a taxa de variação da corrente no instante que ele quer saber as coisas.

Agora para a situação do item ( b ) , temos que notar que o interruptor estando fechado por muito tempo e depois sendo aberto, nessa primeira parte dele fechado por muito tempo quando   t = ∞ temos que a tenção no indutor vai a 0 , pois a tensão no indutor é dada por:

V L = L d i d t

Sendo que:

d i d t = ε L e - ( R / L ) t

E para t indo para o infinito temos que d i / d t = 0 , logo V L = 0 , assim temos que o indutor funciona como um fio.

Com isso a tensão desse ramo ficou restrita ao resistor R 2 então pela lei de Ohm temos como achar a corrente nesse ramo, assim:

ε = i 2 R 2

Depois que a chave S é aberta, meio que perdemos contado com a fem, logo ela para de fornecer corrente para o circuito.

Mas imediatamente após a chave ser aberta a corrente do circuito não deu tempo de zerar ainda, então essa é a corrente que vai passar por R 1 nesse instante.

Passo 2

Vamos encontrar primeiro a corrente que passa por R 1 para o caso do item ( a ) , temos que:

ε = i 1 R 1

Isolando i 1 , temos:

i 1 = ε R 1

Substituindo o que sabemos temos:

i 1 = 60 40

⇒ i 1 = 1,5   A

Passo 3

Agora vamos achar V L para depois usarmos ele para encontrar i 2 , temos que:

V L = L d i d t

Substituindo os valores que sabemos temos:

V L = 0,3 ( 50 )

⇒ V L = 15   V

Então vamos pegar a equação que temos no passo 1 dada por:

ε - i 2 R 2 - V L = 0

Isolando i 2 temos:

i 2 = ε - V L R 2

Agora substituindo os valores que temos ficamos com:

i 2 = 60 - 15 25

= 45 25

⇒ i 2 = 1,8   A

Passo 4

Agora vamos encontrar o que o item ( b ) quer, temos que:

ε = i 2 R 2

Isolando i 2 , ficamos com:

i 2 = ε R 2

Substituindo o que conhecemos, temos:

i 2 = 60 25

⇒ i 2 = 2,4   A

Logo a corrente que passa por R 1 é 2,4   A .

Resposta

( a )

i 1 = 1,5   A

i 2 = 1,8   A

( b )

i = 2,4   A

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