Enunciado

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Coeficiente de atrito variável. Uma caixa desliza sobre uma superfície horizontal com velocidade escalar de 4,50   m / s quando, no ponto P , encontra uma área áspera. Na área áspera, o coeficiente de atrito não é constante, mas se inicia a 0,100   em P e aumenta linearmente conforme ultrapassa P , atingindo um valor de 0,600 a 12,5   m após o ponto P .

a) Use o teorema de trabalho – energia para achar a distância percorrida por essa caixa antes de parar.

b) Qual é o coeficiente de atrito no ponto de parada?

c) Qual distância a caixa percorreria, caso o coeficiente de atrito não aumentasse, mas, em vez disso, tivesse o valor constante de 0,100 ?

Passo 1

  1. Oi, galerinha! Tudo bom? O enunciado pede para usarmos o teorema do trabalho para descobrir a distância percorrida. O teorema nos diz:
  2. W = K 2 - K 1

    Como a caixa desliza até parar, a velocidade final deve ser zero, então K 2 = 0 .

    Além disso, temos que o trabalho da força de atrito será,

    W = - μ c m g   d x

    Com isso, devemos integrar pois o coeficiente de atrito é variável.

    Contudo, o problema não nos traz qual é a expressão, então temos que achar essa fórmula. Bora lá!

    Passo 2

    O enunciado diz que a atrito aumenta linearmente a partir de um valor de 0,1 . Aplicando a equação da reta, teríamos:

    μ c = 0,1 + A x

    Agora temos que descobrir A . Relendo o enunciado temos que quando μ c = 0,6 temos que x = 12,5 e daqui podemos descobrir qual é essa constante:

    0,6 = 0,1 + A . 12,5

    0,5 = 12,5 A

    A = 0,5 12,5 = 0,04

    Beleza! Agora temos uma expressão para o coeficiente de atrito:

    μ c = 0,1 + 0,04 x

    Bora integrar!

    Passo 3

    Pelo Passo 1, temos então que,

    W = - μ c m g   d x = K 2 - 0

    E podemos calcular a distância d :

    ∫ 0 d - μ c m g   d x = 0 - m v 2 2

    - m g ∫ 0 d ( 0,1 + 0,04 x ) d x = - m v 2 2

    g ∫ 0 d ( 0,1 + 0,04 x ) d x = v 2 2

    9,8 0,1 x + 0,04 x 2 2 0 d = 4,5 2 2

    0,98 d + 0,02.9,8 d 2 - 10,125 = 0

    0 , 196 d 2 + 0 , 98 d - 10,125 = 0

    Temos uma equação de segunda ordem em d , resolvemos por báscara:

    d = - ( 0 , 98 ) ± ( 0 , 98 ) 2 - 4 0 , 196 ( - 10,125 ) 2 ( 0 , 196 ) = 5,11 m

    Jogando tudo isso na calculadora e desconsiderando a raiz negativa temos a distância de d = 5,11 m .

    Passo 2

  3. Usando x = 5,11 para o ponto de parada na expressão para o coeficiente de atrito cinético:
  4. μ c = 0,1 + 0,04 x

    μ c 5,11 = 0,1 + 0,04.5,11 = 0,304

    Passo 3

  5. Caso o coeficiente de atrito não variasse, o trabalho da força de atrito seria - μ c m g d e usando o teorema trabalho – energia podemos determinar a nova distância d :

- μ c m g d = 0 - m v 2 2

μ c g d = v 2 2

d = v 2 2 μ c g

Substituindo os valores das constantes teremos o valor da distância:

d = 4,5 2 2.0,1.9,8 = 10,3 m

Uma distância bem maior! E faz sentido, pois aqui o atrito é constante e menor do que no item b ) . Com menos atrito, o objeto se desloca uma distância maior até parar.

Tranquilo? Vamos pra próxima?

Resposta

a ) 5,11 m

b ) 0,304

c ) 10,3 m

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