Enunciado

A força gravitacional da Terra sobre um objeto é inversamente proporcional ao quadrado da distância do objeto a partir do centro da Terra. Na superfície terrestre, essa força é igual ao peso normal do objeto m g , onde g = 9,8   m / s 2 ; em grandes distâncias, a força é igual a zero.

Se um asteroide de 20000   k g cai sobre a Terra de uma distância muito grande, qual é sua velocidade escalar mínima quando atinge a superfície terrestre e quanta energia cinética ele transmite ao nosso planeta? Despreze os efeitos da atmosfera terrestre.

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Aqui temos um asteroide de 20000   k g vindo em direção a terra, mas ele ainda tá muuuuito longe.

Queremos saber qual a velocidade mínima que esse objeto deve ter quando ele atinge a superfície terrestre e a sua energia cinética!

A força gravitacional pode ser dada pela seguinte expressão:

F = m g R T r 2

Quando r = R T , temos a força peso já conhecida. Quando o objeto vai se afastando cada vez mais da atmosfera terrestre, menor é a força que a Terra exerce sobre ele.

Passo 2

Para determinar a velocidade escalar mínima vamos associar o trabalho realizado para trazer esse objeto do infinito, quando a força é zero, ou seja, com velocidade zero (energia cinética igual a zero) até uma distância r = R T . E como fazer isso? Com o teorema trabalho – energia!!

W = ∫ ∞ r m g R T r 2 d r = m g R T 2 - 1 r ∞ R T = m g R T 2 - 1 ∞ + 1 R T

Sabemos que 1 ∞ → 0 então o trabalho realizado é:

W = m g R T 2   . 1 R T = m g R T

Passo 3

Agora relacionando com o teorema trabalho – energia:

W = K 2 - K 1

Já que no infinito temos energia cinética igual a zero K 1 = 0 podemos reescrever a energia cinética quando o objeto chega a superfície terrestre com sua velocidade:

W = m v 2 2

A massa já temos, e a expressão para o trabalho também. Agora é só substituir e determinar a velocidade:

m g R T = m v 2 2

O raio da terra é igual a 6,37 × 10 6 , substituindo:

v = 2 g R T = 2 ×   6,37 × 10 6 . 9,8 = 11,17 k m / s

Passo 4

Agora vamos calcular a energia cinética:

K 2 = 1 2 m v 2 2

K 2 = 1 2 × 20000 × 11,17 2

K 2 = 1,25 × 10 12 J

Prontinho!

Resposta

v = 11,17 k m / s

K 2 = 1,25 × 10 12 J

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