Enunciado

Em uma colisão de alta energia entre uma partícula dos raios cósmicos e uma partícula da parte superior da atmosfera terrestre, 120   k m acima do nível do mar, é criado um píon. O píon possui uma energia total E de 1,35 × 10 5 M e V e está se movendo verticalmente para baixo. No referencial de repouso do píon, o píon decai 35,0   n s após ser criado. Em que altitude acima do nível do mar, do ponto de vista de um observador terrestre, ocorre o decaimento? A energia de repouso do píon é 139,6   M e V .

Passo 1

Como estamos querendo saber de acordo com o ponto de vista de um observador terrestre, vamos utilizar a terra como nosso referencial.

A píon adquire uma velocidade que é dado por:

v = d e s l o c a m e n t o d ∆ t

O que nos interessa aqui é saber o deslocamento, então podemos isolá-lo na fórmula:

d = v ∆ t

Beleza então, para descobrir o deslocamento precisamos descobrir qual a velocidade do píon e o ∆ t .

Passo 2

Vamos primeiro calcular o ∆ t :

A energia total de uma partícula é dada por:

E T =   m c 2 γ

Com

γ = 1 1 - β 2

Sendo m c 2 = E r e p o u s o da partícula, temos que:

E T = E r e p o u s o γ

Como a energia de repouso foi fornecida e a energia total também, podemos achar γ :

γ = E T E r e p o u s o = 1,35 × 10 5   M e V 139,6   M e V = 967,05

Uma vez que determinamos γ , temos condições de determinar o tempo que um observador na Terra vê o píon decair.

Aí você deve estar se perguntando como né? Lembra que o tempo de vida próprio, Δ t 0 , se relaciona com Δ t da seguinte maneira:

Δ t = γ Δ t 0

O tempo de vida próprio foi fornecido na questão:

Δ t 0 = 35,0   n s = 35,0 × 10 - 9   s

E assim achamos o ∆ t :

Δ t = γ Δ t 0 = 967,05 35,0 × 10 - 9 s = 3,385 × 10 - 5 s

Passo 3

Agora precisamos determinar a velocidade e para isso vamos utilizar a definição de γ :

γ = 1 1 - β 2 =   1 1 - ( v / c ) 2 → v = γ 2 - 1 γ c = 0,9999995 c  

Como já calculamos γ e a velocidade da luz, c , é conhecida, temos que:

Logo a distância percorrida no referencial do observador será

v = 967,05 2 - 1 967,05   .   3 × 10 8 ≅ 3 × 10 8

Passo 4

Agora podemos retornar para a distância percorrida e substituir os valores que encontramos:

d = v Δ t = 3 × 10 8 3,385 × 10 - 5 s = 10,15   × 10 3   m = 10,15   k m

Então, a distância percorrida pelo píon foi de 10,15   k m , mas não é isso que a questão quer, ela quer em que altitude acima do nível do mar ocorre o decaimento. Considerando que o píon é formado 120   k m acima do nível do mar e decai 10,15   k m , a altura que o píon decaiu será dada por:

120   k m - 10,15 k m = 109,85   k m

Resposta

109,85   k m

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